Теорема Гурвіца (теорія чисел)

Теорема Гурвіца — результат теорії чисел, про наближення ірраціональних чисел раціональними. Теорема була доведена Адольфом Гурвіцем у 1891 році.

Формулювання

Для будь-якого додатного дійсного числа $c\leqslant {\sqrt {5}}$ і ірраціонального числа $\xi$ існує нескінченна кількість взаємно простих цілих чисел $h,k$ таких, що $\left|\xi -{\frac {h}{k}}\right|<{\frac {1}{ck^{2}}}$.

Натомість для будь-якого числа $c>{\sqrt {5}}$ існує ірраціональне число $\xi$ таке, що нерівність $\left|\xi -{\frac {h}{k}}\right|<{\frac {1}{ck^{2}}}$ виконується лише для скінченної кількості взаємно простих цілих чисел $h,k$.

Доведення

Доведення першої частини теореми

Можна вважати, що $0<\xi <1$.

Розглянемо ряд Фарея порядку N і ${\frac {a}{b}}$ і ${\frac {a'}{b'}}$ два його послідовні члени для яких ${\frac {a}{b}}<\xi <{\frac {a'}{b'}}$. Можна вважати, що $b'>{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}b\$ або $\ b'<{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}b$. Справді, якщо ${\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}b<b'<{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}b$, то $b+b'>{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\max\{b,b'\}$ і тому ряд Фарея $F_{N}$ можна замінити на $F_{b+b'}$, а одне з чисел ${\frac {a}{b}}$ чи ${\frac {a'}{b'}}$ на ${\frac {a+a'}{b+b'}}$.

Позначаючи $\omega ={\frac {b'}{b}}$, таким чином $\omega >{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ або $\omega <{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$. В будь-якому випадку $1+\omega ^{-2}>{\sqrt {5}}\omega ^{-1}$, оскільки

${\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(1+{\frac {1}{\omega ^{2}}}\right)-{\frac {1}{\omega }}={\frac {1}{{\sqrt {5}}\omega ^{2}}}\left(\omega -{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)\left(\omega -{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)>0$.

Звідси

${\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{b'^{2}}}\right)={\frac {1}{{\sqrt {5}}b^{2}}}\left(1+{\frac {1}{\omega ^{2}}}\right)>{\frac {1}{\omega b^{2}}}$.

З цієї нерівності отримуємо ${\frac {a'}{b'}}-{\frac {a}{b}}={\frac {1}{bb'}}={\frac {1}{\omega b^{2}}}<{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{b'^{2}}}\right)$.

Таким чином один із інтервалів $\left({\frac {a}{b}},{\frac {a}{b}}+{\frac {1}{{\sqrt {5}}b^{2}}}\right)$ або $\left({\frac {a'}{b'}}-{\frac {1}{{\sqrt {5}}(b')^{2}}},{\frac {a'}{b'}}\right)$ містить $\xi$ і відповідно одне з чисел ${\frac {a}{b}}$ або ${\frac {a'}{b'}}$ задовольняє умову теореми.

Позначаючи це число ${\frac {h}{k}}$ маємо $\left|\xi -{\frac {h}{k}}\right|<{\frac {a'}{b'}}-{\frac {a}{b}}={\frac {1}{bb'}}\leqslant {\frac {1}{b+b'-1}}$ і оскільки з властивостей рядів Фарея $F_{N}$ для послідовних членів ряду $b+b'\geqslant N+1$ то звідси $\left|\xi -{\frac {h}{k}}\right|<{\frac {1}{N}}$. Оскільки число $N$ було довільним (в процесі доведення його можливо замінено на деяке більше число), то обираючи різні такі числа ми отримаємо нескінченну кількість дробів ${\frac {h}{k}}$, що задовольняють умови теореми.

Контрприклад для другої частини теореми

Нехай $c={\frac {\sqrt {5}}{\alpha }}$, де $0<\alpha <1$ і $\xi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$. Припустимо, що $\left|{\frac {h}{k}}-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right|<{\frac {\alpha }{{\sqrt {5}}k^{2}}}$. Це можна переписати як рівність $\theta ={\sqrt {5}}k^{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}-{\frac {h}{k}}\right)$, де $|\theta |\leq \alpha$. Після перегрупування доданків і піднесення до квадрату одержуємо $h^{2}-hk-k^{2}={\frac {\theta ^{2}}{5k^{2}}}-\theta \,$. Якщо розглянути $P(h)=h^{2}-hk-k^{2}$ як многочлен від $h$, то $P(h)=0\Leftrightarrow h={\frac {(1\pm {\sqrt {5}})k}{2}}$. Оскільки $h$ і $k$ є цілими числами і $k\neq 0$ це неможливо і тому $|h^{2}-hk-k^{2}|\geq 1$.

Оскільки $|\theta |\leqslant \alpha <1$ то $1\leq \left|{\frac {\theta ^{2}}{5k^{2}}}-\theta ~\right|\leq |\theta |+{\frac {|\theta |^{2}}{5k^{2}}}\leq \alpha +{\frac {\alpha ^{2}}{5k^{2}}}$, або $k^{2}<{\frac {\alpha ^{2}}{5(1-\alpha )}}$.

Тобто натуральне число $k$ може мати лише скінченну кількість значень. Тоді $h$ теж може приймати скінченну кількість значень.

Література

• Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — Москва : Мир, 1974. — 187 с.(рос.)