Ірраціональні числа

Ірраціональні числа — числа, що не є раціональними, тобто не можуть бути виражені відношенням цілих чисел. Таким чином, ірраціональні числа утворюють множину $\mathbb I =\R \backslash \Q$, де $\R$ — множина дійсних чисел, а $\Q$ — множина раціональних чисел.

Уперше виникли в геометрії при вивченні довжин. Геометрично ірраціональне число виражає собою довжину відрізка, неспівмірного з відрізком одиничної довжини. За легендою, піфагорейці відкрили несумірність деяких геометричних величин, але оскільки це суперечило їх філософії, цілком побудованій на натуральних числах, вони утримували це відкриття у найсуворішій таємниці і навіть покарали на смерть одного з членів свого братства, який (за різними джерелами) чи першим знайшов, чи розголосив цей факт.

Відмінності в записі раціональних та ірраціональних чисел

Раціональні числа при записі їх у десятковий дріб мають періодично повторювану частину. Наприклад,

${1\over 3}=0,(3)$, де $(3)$ означає, що трійка повторюється нескінчену кількість раз, довжина періоду — один.

${22\over 7}=3,(142857)$, довжина періоду — шість.

Періодичність дробу можна вважати за критерій приналежності числа до раціональних чисел. При розкладанні ірраціональних чисел у десятковий дріб не спостерігається такої періодичності. Наприклад, відомо, що число пі $\pi=3,1415926\ldots$ — ірраціональне, і навіть трансцендентне. Тому, хоча в його десятковому записі окремі цифри та комбінації цифр повторюються, не існує групи цифр, яка б нескінченно повторювалася, утворюючи період.

Існує інший спосіб задання додатних дійсних чисел: за допомогою ланцюгових дробів. У цьому разі, різниця між раціональними та ірраціональними числами полягає в тому, що ланцюгові дроби раціональних чисел скінченні, а ірраціональних нескінченні, хоча для квадратичних ірраціональностей ланцюговий дріб періодичний.

Приклади.

$\frac{355}{113}=3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{16}},$

скінченний;

$\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\ldots}}}= [1;2,2,2\ldots]=[1;(2)],$

з періодом довжини один;

$\sqrt{3}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\ldots}}}}= [1;1,2,1,2\ldots]=[1;(1,2)]$,

з періодом довжини два;

$\pi=3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{292+\ldots}}}}= [3;7,15,1,292,1,1,1,2,\ldots]$

(A001203 в енциклопедії цілих послідовностей) — неперіодичний.

Філософське значення

Про існування неспівмірних відрізків знали вже древні математики: їм була відома, наприклад, неспівмірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильно ірраціональності числа $\sqrt 2$ (перше знайдене ірраціональне число).

Піфагорове твердження, що всі речі є числа, відображало метафізичні уявлення стародавніх греків. Всесвіт є місцем гармонії, а гармонію, в свою чергу, можна описати відношенням натуральних чисел. Так поєднання двох звуків, відношення частот яких є раціональне число, дає приємне для вуха звучання. Відкриття того, що довжина діагоналі квадрата зі сторонами довжиною 1, тобто $\sqrt{2}\approx 1,4142135$, не є раціональним числом, призвело до глибокої кризи давньогрецької математики.

Криза полягала в усвідомлені факту існування математичних величин, які не можуть бути виражені числами. Але ті самі математичні величини можуть бути виражені через геометричні побудови. Як наслідок — давньогрецька математика відмовилась від алгебраїчного підходу, на користь геометричного.

Властивості

• Всяке дійсне число може бути записане нескінченим десятковим дробом, при цьому ірраціональні числа і тільки вони записуються неперіодичними десятковими дробами.
• Кожне ірраціональне число визначає такий переріз Дедекінда у множині раціональних чисел, для якого в нижньому класі немає найбільшого, а у верхньому класі немає найменшого раціонального числа.
• Кожне ірраціональне число є або алгебраїчним, або трансцендентним, а кожне трансцендентне число є ірраціональним.
• Множина ірраціональних чисел скрізь щільна на числовій прямій, тобто між будь-якими двома дійсними (і навіть раціональними) числами є ірраціональне число (і навіть нескінченно багато ірраціональних чисел).
• Множина ірраціональних чисел — незліченна множина другої категорії.

Топологічні властивості

• $\R$\$\Q$ є G_δ-множиною. Фактично $\R$\$\Q$ дорівнює перетину ($\R$\{α}), де α належить $\Q$.
• Евклідова метрика перетворює $\R$\$\Q$ у метричний простір, який є повністю нормальним та паракомпактним.
• Повний метричний простір $\R$\$\Q$ є простором другої категорії.
• $\R$\$\Q$ - сепарабельний, тому що ірраціональні форми x+q, де q належить $\R$ щільні в $\R$\$\Q$.
• $\R$\$\Q$ задовольняє другу аксіому зліченості.
• $\R$\$\Q$ є компактною множиною, яка ніде не щільна. Звідси випливає, що $\R$\$\Q$ ні локально-компактний, ні σ-локально-компактний простір.
• $\R$\$\Q$ щільна у собі.

Лiтература

1."Counterexamples In Topology", Steen Seebach.