Ірраціональні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Ірраціональні числа — числа, що не є раціональними, тобто не можуть бути виражені відношенням цілих чисел. Таким чином, ірраціональні числа утворюють множину , де - множина дійсних чисел, а - множина раціональних чисел. Уперше виникли в геометрії при вивченні довжин. Геометрично ірраціональне число виражає собою довжину відрізка, неспівмірного з відрізком одиничної довжини. За легендою, піфагорейці відкрили несумірність деяких геометричних величин, але оскільки це суперечило їх філософії, цілком побудованій на натуральних числах, вони утримували це відкриття у найсуворішій таємниці і навіть покарали на смерть одного з членів свого братства, який (за різними джерелами) чи першим знайшов, чи розголосив цей факт.

[ред.] Різниці в записі раціональних та ірраціональних чисел

Раціональні числа при записі їх у десятковий дріб мають періодично повторювану частину. Наприклад,

, де (3) означає, що трійка повторюється нескінчену кількість раз, довжина періоду — один.

, довжина періоду — шість.

Періодичність дробу можна вважати за критерій приналежності числа до раціональних чисел. При розкладанні ірраціональних чисел у десятковий дріб не спостерігається такої періодичності. Наприклад, відомо, що число пі — ірраціональне, і навіть трансцендентне. Тому, хоча в його десятковому записі окремі цифри та комбінації цифр повторюються, не існує групи цифр, яка б нескінченно повторювалася, утворюючи період.

Існує інший спосіб задання додатних дійсних чисел: за допомогою ланцюгових дробів. У цьому разі, різниця між раціональними та ірраціональними числами полягає в тому, що ланцюгові дроби раціональних чисел скінченні, а ірраціональних нескінченні, хоча для квадратичних ірраціональностей ланцюговий дріб періодичний.

Приклади.

скінченний;

з періодом довжини один;

,

з періодом довжини два;

(A001203 в енциклопедії цілих послідовностей) — неперіодичний.

[ред.] Філософське значення

Про існування неспівмірних відрізків знали вже древні математики: їм була відома, наприклад, неспівмірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильно ірраціональності числа (перше знайдене ірраціональне число).

Піфагорове твердження, що всі речі є числа, відображало метафізичні уявлення стародавніх греків. Всесвіт є місцем гармонії, а гармонію, в свою чергу, можна описати відношенням натуральних чисел. Так поєднання двох звуків, відношення частот яких є раціональне число, дає приємне для вуха звучання. Відкриття того, що довжина діагоналі квадрата зі сторонами довжиною 1, тобто , не є раціональним числом, призвело до глибокої кризи давньогрецької математики.

Криза полягала в усвідомлені факту існування математичних величин, які не можуть бути виражені числами. Але ті самі математичні величини можуть бути виражені через геометричні побудови. Як наслідок — давньогрецька математика відмовилась від алгебраїчного підходу, на користь геометричного.

[ред.] Властивості

• Всяке дійсне число може бути записане нескінченим десятковим дробом, при цьому ірраціональні числа і тільки вони записуються неперіодичними десятковими дробами.
• Кожне ірраціональне число визначає такий переріз Дедекінда у множині раціональних чисел, для якого в нижньому класі немає найбільшого, а у верхньому класі немає найменшого раціонального числа.
• Кожне ірраціональне число є або алгебраїчним, або трансцендентним, а кожне трансцендентне число є ірраціональним.
• Множина ірраціональних чисел скрізь щільна на числовій прямій, тобто між будь-якими двома дійсними (і навіть раціональними) числами є ірраціональне число (і навіть нескінченно багато ірраціональних чисел).
• Множина ірраціональних чисел — незчисленна множина другої категорії.

Статті з математики, пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Constructible numbers | Алгебраїчні числа | Computable numbers | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальні числа | Кардинальні числа | p-adic numbers | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність