Раціональні числа
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Раціональні числа - в математиці множина раціональних чисел ℚ визначається як множина нескоротних дробів із цілим чисельником і натуральним знаменником:
або як множина розв'язків рівняння
,
тобто n - натуральне число, а m - ціле число.
Множина раціональних чисел є підмножиною дійсних чисел.
Зміст |
[ред.] Термінологія
[ред.] Формальне означення
Формально можна дати означення раціональних чисел як множини класів еквівалентності пар
за відношенням еквівалентності
, якщо
. При цьому операції додавання й множення визначаються так:
[ред.] Пов'язані означення
Правильним зветься дріб, в якого модуль числівника менший за модуль знаменника.
Дріб, який не є правильним, зветься неправильним.
Наприклад, дроби
,
та
— правильні,
а
,
та
— неправильні дроби.
Будь-яке ціле число можна подати в вигляді неправильного дробу зі знаменником 1.
Дріб, записаний як ціле число й правильний дріб, зветься змішаним дробом й розглядається як сума цього числа та дробу.
Наприклад,
.
В строгій математичній літературі запис в вигляді змішаного дробу переважно не використовується через подібність позначення змішаного дробу з позначенням добутку цілого числа з дробом.
[ред.] Властивості
[ред.] Основні властивості
Для раціональних чисел виконуються шістнадцять основних властивостей, які можна отримати з властивостей цілих чисел.[1]
- Впорядкованість. Для будь-яких раціональних чисел a та b існує правило, яке дозволяє однозначно ідентифікувати між ними одне й тільки одне з трьох відношень: « < », « > » или « = ». Це правило зветься правилом впорядкування і формулюється так: два невід'ємні числа
та
зв'язані тим же відношенням, що й два цілі числа
та
; два недодатні числа a та b зв'язані тим же відношенням, що й два невід'ємні числа
и
; якщо ж a невід'ємне, а b — від'ємне, то a > b.
- Операція додавання. Для будь-яких раціональних чисел a та b існує правило додавання, яке ставить їм у відповідність певне раціональне число c. При цьому число c зветься сумою чисел a та b й позначається
, а процес знаходження такого числа зветься додаванням. Правило додавання має такий вигляд:
.
- Операція множення. Для будь-яких раціональних чисел a та b існує правило множення, яке ставить їм у відповідність певне раціональне число c. При цьому число c зветься добутком чисел a та b й позначається
, а процес знаходження такого числа зветься множенням. Правило множення має такий вигляд:
.
- Транзитивність відношення порядку. Для будь-якої трійки раціональних чисел a, b та c якщо a менше b та b менше c, то a менше c, а якщо a дорівнює b й b дорівнює c, то a дорівнює c.
- Комутативність додавання. Від зміни місць раціональних доданків сума не змінюється.
- Асоціативність додавання. Порядок додавання трьох раціональних чисел не впливає на результат.
- Існування нуля. Існує раціональне число 0, яке зберігає будь-яке інше раціональне число при додаванні.
- Існування протилежних чисел. Будь-яке раціональне число має відповідне протилежне раціональне число, при додавання до якого дає 0.
- Комутативність множення. Від зміни місць раціональних множників добуток не змінюється.
- Асоціативність множення. Порядок множення трьох раціональних чисел не впливає на результат.
- Існування одиниці. Існує раціональне число 1, яке зберігає будь-яке інше раціональне число при множенні.
- Існування обернених чисел. Будь-яке раціональне число має відповідне обернене раціональне число, множення на яке дає 1.
- Дистрибутивність множення відносно додавання. Операція множення узгоджена з операцією додавання за допомогою розподільного закону:
- Зв'язок відношення порядку з операцією додавання. До лівої й правої частин раціональної нерівності можна додавати одне й те ж раціональне число.
- Зв'язок відношення порядку з операцією множення. Ліву й праву частини раціональної нерівності можна множити на одне й те ж додатнє раціональне число.
- Аксіома Архімеда. Яким би не було раціональне число a, можна взяти стільки одиниць, що їх сума буде більшою за a.
[ред.] Додаткові властивості
Решта властивостей раціональних чисел не входять до основних, бо вони не опираються на властивості цілих чисел, а можуть бути доведені з використанням основних властивостей чи за означенням певного математичного об'єкту. Таких властивостей дуже багато, ось деякі з них:
- Друге відношення порядку «>» також транзитивне.
- Добуток бідь-якого раціонального числа на нуль дорівнює нулю.
- Раціональні нерівності одного знаку можна почленно додавати.
- Множина раціональних чисел
є полем відносно операцій додавання та множення дробів.
— поле
- Кожне раціональне число є алгебраїчним.
[ред.] Виноски
- ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 30 — 31. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7
[ред.] Дивіться також
| Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її. |
|
Статті з математики, пов'язані з числами |
|
| Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Constructible numbers | Алгебраїчні числа | Computable numbers | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальні числа | Кардинальні числа | p-adic numbers | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність |






















