Раціональні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Раціональні числа — в математиці множина раціональних чисел ℚ визначається як множина нескоротних дробів із цілим чисельником і натуральним знаменником:

\Q = \left\{ \frac{m}{n}, m \in \Z, n \in \N \right\}

або як множина розв'язків рівняння

nx=m, \quad n \in \N,\quad m \in \Z,

тобто n — натуральне число, m — ціле число.

Множина раціональних чисел є підмножиною алгебраїчних та дійсних чисел.

Термінологія[ред.ред. код]

Формальне означення[ред.ред. код]

Можна дати формальне означення раціональних чисел як множини класів еквівалентності пар \left\{ (m,\;n) \mid m \in \Z,\;n \in \N \right\} за відношенням еквівалентності

(m,\;n)\sim (m',\;n') \iff m\cdot n'=m'\cdot n.

При цьому операції додавання й множення визначаються так:

  • \left(m_1,\;n_1\right) + \left(m_2,\;n_2\right) = \left(m_1\cdot n_2 + m_2\cdot n_1,\;n_1\cdot n_2\right);
  • \left(m_1,\;n_1\right)\cdot\left(m_2,\;n_2\right) = \left(m_1\cdot m_2,\;n_1 \cdot n_2\right).

Пов'язані означення[ред.ред. код]

Правильним зветься дріб, в якого модуль чисельника менший за модуль знаменника.

Дріб, який не є правильним, зветься неправильним.

Наприклад, дроби \frac{3}{5}, \frac{7}{8} та \frac{1}{2} є правильними, а \frac{8}{3}, \frac{9}{5} та \frac{2}{1} є неправильними.

Будь-яке ціле число можна подати в вигляді неправильного дробу зі знаменником 1.

Дріб, записаний як ціле число й правильний дріб, зветься змішаним дробом й розглядається як сума цього числа та дробу.

Наприклад, 2 \frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}.

У строгій математичній літературі запис у вигляді змішаного дробу переважно не використовується через подібність позначення змішаного дробу з позначенням добутку цілого числа з дробом.

Властивості[ред.ред. код]

Основні властивості[ред.ред. код]

Для раціональних чисел виконуються шістнадцять основних властивостей, які можна отримати з властивостей цілих чисел.[1]

  1. Впорядкованість. Для будь-яких раціональних чисел a та b існує правило, яке дозволяє однозначно ідентифікувати між ними одне й тільки одне з трьох відношень: «<», «>» або «=». Це правило зветься правилом впорядкування і формулюється так: два невід'ємні числа a=\frac{m_a}{n_a} та b=\frac{m_b}{n_b} зв'язані тим же відношенням, що й два цілі числа m_a \cdot n_b та m_b \cdot n_a; два недодатні числа a та b зв'язані тим же відношенням, що й два невід'ємні числа \left| b \right| и \left| a \right|; якщо ж a невід'ємне, а b — від'ємне, то a>b.
    \forall a,b \in \Q ~ \left( a<b \lor a>b \lor a=b \right)
    Додавання дробів
  2. Операція додавання. Для будь-яких раціональних чисел a та b існує правило додавання, яке ставить їм у відповідність певне раціональне число c. При цьому число c зветься сумою чисел a та b й позначається \left( a+b \right), а процес знаходження такого числа зветься додаванням. Правило додавання має такий вигляд: \frac{m_a}{n_a}+\frac{m_b}{n_b}=\frac{m_a \cdot n_b + m_b \cdot n_a}{n_a \cdot n_b}.
    \forall a,b \in \mathbb{Q} ~ \exists \left( a+b \right) \in \Q
  3. Операція множення. Для будь-яких раціональних чисел a та b існує правило множення, яке ставить їм у відповідність певне раціональне число c. При цьому число c зветься добутком чисел a та b й позначається \left( a \cdot b \right), а процес знаходження такого числа зветься множенням. Правило множення має такий вигляд: \frac{m_a}{n_a} \cdot \frac{m_b}{n_b}=\frac{m_a \cdot m_b}{n_a \cdot n_b}.
    \forall a,b \in \Q ~ \exists \left( a \cdot b \right) \in \Q
  4. Транзитивність відношення порядку. Для будь-якої трійки раціональних чисел a, b та c якщо a менше b та b менше c, то a менше c, а якщо a дорівнює b й b дорівнює c, то a дорівнює c.
    \forall a,b,c \in \Q ~ \left( a<b \land b<c \Rightarrow a<c \right) \land \left( a=b \land b=c \Rightarrow a=c \right)
  5. Комутативність додавання. Від зміни місць раціональних доданків сума не змінюється.
    \forall a,b \in \Q ~~ a+b=b+a
  6. Асоціативність додавання. Порядок додавання трьох раціональних чисел не впливає на результат.
    \forall a,b,c \in \Q ~~ \left( a + b \right) + c = a + \left( b + c \right)
  7. Існування нуля. Існує раціональне число 0 (нуль), яке не змінює будь-яке інше раціональне число при додаванні.
    \exists 0 \in \Q ~ \forall a \in \mathbb{Q} ~~ a+0=a
  8. Існування протилежних чисел. Будь-яке раціональне число має відповідне протилежне раціональне число, при додаванні до якого утворюється 0.
    \forall a \in \Q ~ \exists \left( -a \right) \in \mathbb{Q} ~~ a + \left( -a \right) = 0
  9. Комутативність множення. Від зміни місць раціональних множників добуток не змінюється.
    \forall a,b \in \Q ~~ a \cdot b = b \cdot a
  10. Асоціативність множення. Порядок множення трьох раціональних чисел не впливає на результат.
    \forall a,b,c \in \Q ~~ \left( a \cdot b \right) \cdot c = a \cdot \left( b \cdot c \right)
  11. Існування одиниці. Існує раціональне число 1, яке не змінює будь-яке інше раціональне число при множенні.
    \exists 1 \in \Q ~ \forall a \in \Q ~~ a \cdot 1 = a
  12. Існування обернених чисел. Будь-яке раціональне число, що не дорівнює нулю, має відповідне обернене раціональне число, множення на яке дає 1.
    \forall a \in \Q ~ \exists a^{-1} \in \Q ~~ a \cdot a^{-1} = 1
  13. Дистрибутивність множення відносно додавання. Операція множення узгоджена з операцією додавання за допомогою розподільного закону:
    \forall a,b,c \in \Q ~~ \left( a+b \right) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c
  14. Зв'язок відношення порядку з операцією додавання. До лівої й правої частин раціональної нерівності можна додавати одне й те ж раціональне число.
    \forall a,b,c \in \Q ~~ a<b \Rightarrow a+c<b+c
  15. Зв'язок відношення порядку з операцією множення. Ліву й праву частини раціональної нерівності можна множити на одне й те ж додатнє раціональне число.
    \forall a,b,c \in \Q ~~ c>0 \land a<b \Rightarrow a \cdot c < b \cdot c
  16. Аксіома Архімеда. Яким би не було раціональне число a, можна взяти стільки одиниць, що їхня сума буде більшою за a.
    \forall a \in \Q ~ \exists n \in \N ~~ \sum_{k=1}^{n}1>a

Додаткові властивості[ред.ред. код]

Решта властивостей раціональних чисел не входять до основних, бо вони не опираються на властивості цілих чисел, а можуть бути доведені з використанням основних властивостей чи за означенням певного математичного об'єкта. Таких властивостей дуже багато, ось деякі з них:

  • Друге відношення порядку «>» також транзитивне.
    \forall a,b,c \in \Q ~~ a>b \land b>c \Rightarrow a>c
  • Добуток будь-якого раціонального числа на нуль дорівнює нулю.
    \forall a \in \Q ~~ a \cdot 0 = 0
  • Раціональні нерівності одного знаку можна почленно додавати.
    \forall a,b,c,d \in \Q ~~ a>b \land c>d \Rightarrow a+c>b+d
  • Множина раціональних чисел \Q є полем відносно операцій додавання та множення дробів.
    \left(\Q, +, \cdot \right) — поле
  • Кожне раціональне число є алгебраїчним.
    \Q \subset \mathbb{A}

Топологічні властивості[ред.ред. код]

Підпростір \Q евклідового простору \R має такі властивості:

Зліченність[ред.ред. код]

Зліченна множина — в теорії множин така нескінченна множина, елементи якої можна занумерувати натуральними числами. Легко довести, що множина раціональних чисел зліченна. Для цього достатньо привести алгоритм, який нумерує раціональні числа, тобто встановлює бієкцію між множинами раціональних і натуральних чисел. Ілюстрація зображує один з варіантів цього алгоритму. Існують і інші способи занумерувати раціональні числа. Наприклад, для цього можна використати ряд Фарея.

Див. також[ред.ред. код]

Виноски[ред.ред. код]

  1. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 30 — 31. — ISBN 5-482-00445-7

Література[ред.ред. код]

  1. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 вид.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3 

Статті з математики, пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Constructible numbers | Алгебраїчні числа | Трансцендентні числа | Computable numbers | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Дуальні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальні числа | Кардинальні числа | P-адичні числа | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність