Раціональні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Раціональні числа - в математиці множина раціональних чисел ℚ визначається як множина нескоротних дробів із цілим чисельником і натуральним знаменником:

$\mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n}, m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\}$

або як множина розв'язків рівняння

$nx=m,\quad n \in \mathbb N,\quad m \in \mathbb Z\,$ ,

тобто n - натуральне число, а m - ціле число.

Множина раціональних чисел є підмножиною дійсних чисел.

Зміст

1 Термінологія
- 1.1 Формальне означення
- 1.2 Пов'язані означення
2 Властивості
- 2.1 Основні властивості
- 2.2 Додаткові властивості
3 Виноски
4 Дивіться також

[ред.] Термінологія

[ред.] Формальне означення

Формально можна дати означення раціональних чисел як множини класів еквівалентності пар $\left\{ (m,\;n) \mid m \in \mathbb{Z},\;n \in \mathbb{N} \right\}$ за відношенням еквівалентності $(m,\;n)\sim (m',\;n')$ , якщо $m\cdot n'=m'\cdot n$ . При цьому операції додавання й множення визначаються так:

$\left(m_1,\;n_1\right) + \left(m_2,\;n_2\right) = \left(m_1\cdot n_2 + m_2\cdot n_1,\;n_1\cdot n_2\right);$
$\left(m_1,\;n_1\right)\cdot\left(m_2,\;n_2\right) = \left(m_1\cdot m_2,\;n_1 \cdot n_2\right).$

[ред.] Пов'язані означення

Правильним зветься дріб, в якого модуль числівника менший за модуль знаменника.

Дріб, який не є правильним, зветься неправильним.

Наприклад, дроби $\frac{3}{5}$ , $\frac{7}{8}$ та $\frac{1}{2}$ — правильні,

а $\frac{8}{3}$ , $\frac{9}{5}$ та $\frac{2}{1}$ — неправильні дроби.

Будь-яке ціле число можна подати в вигляді неправильного дробу зі знаменником 1.

Дріб, записаний як ціле число й правильний дріб, зветься змішаним дробом й розглядається як сума цього числа та дробу.

Наприклад, $2 \frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}$ .

В строгій математичній літературі запис в вигляді змішаного дробу переважно не використовується через подібність позначення змішаного дробу з позначенням добутку цілого числа з дробом.

[ред.] Властивості

[ред.] Основні властивості

Для раціональних чисел виконуються шістнадцять основних властивостей, які можна отримати з властивостей цілих чисел.^[1]

Впорядкованість. Для будь-яких раціональних чисел $a$ та $b$ існує правило, яке дозволяє однозначно ідентифікувати між ними одне й тільки одне з трьох відношень: « $<$ », « $>$ » или « $=$ ». Це правило зветься правилом впорядкування і формулюється так: два невід'ємні числа $a=\frac{m_a}{n_a}$ та $b=\frac{m_b}{n_b}$ зв'язані тим же відношенням, що й два цілі числа $m_a \cdot n_b$ та $m_b \cdot n_a$ ; два недодатні числа $a$ та $b$ зв'язані тим же відношенням, що й два невід'ємні числа $\left| b \right|$ и $\left| a \right|$ ; якщо ж $a$ невід'ємне, а $b$ — від'ємне, то $a > b$ .

$\forall a,b \in \mathbb{Q} ~ \left( a<b \lor a>b \lor a=b \right)$

Додавання дробів
Операція додавання. Для будь-яких раціональних чисел $a$ та $b$ існує правило додавання, яке ставить їм у відповідність певне раціональне число $c$ . При цьому число $c$ зветься сумою чисел $a$ та $b$ й позначається $\left( a+b \right)$ , а процес знаходження такого числа зветься додаванням. Правило додавання має такий вигляд: $\frac{m_a}{n_a}+\frac{m_b}{n_b}=\frac{m_a \cdot n_b + m_b \cdot n_a}{n_a \cdot n_b}$ .

$\forall a,b \in \mathbb{Q} ~ \exists \left( a+b \right) \in \mathbb{Q}$
Операція множення. Для будь-яких раціональних чисел $a$ та $b$ існує правило множення, яке ставить їм у відповідність певне раціональне число $c$ . При цьому число $c$ зветься добутком чисел $a$ та $b$ й позначається $\left( a \cdot b \right)$ , а процес знаходження такого числа зветься множенням. Правило множення має такий вигляд: $\frac{m_a}{n_a} \cdot \frac{m_b}{n_b}=\frac{m_a \cdot m_b}{n_a \cdot n_b}$ .

$\forall a,b \in \mathbb{Q} ~ \exists \left( a \cdot b \right) \in \mathbb{Q}$
Транзитивність відношення порядку. Для будь-якої трійки раціональних чисел $a$ , $b$ та $c$ якщо $a$ менше $b$ та $b$ менше $c$ , то $a$ менше $c$ , а якщо $a$ дорівнює $b$ й $b$ дорівнює $c$ , то $a$ дорівнює $c$ .

$\forall a,b,c \in \mathbb{Q} ~ \left( a<b \land b<c \Rightarrow a<c \right) \land \left( a=b \land b=c \Rightarrow a=c \right)$
Комутативність додавання. Від зміни місць раціональних доданків сума не змінюється.

$\forall a,b \in \mathbb{Q} ~~ a+b=b+a$
Асоціативність додавання. Порядок додавання трьох раціональних чисел не впливає на результат.

$\forall a,b,c \in \mathbb{Q} ~~ \left( a + b \right) + c = a + \left( b + c \right)$
Існування нуля. Існує раціональне число 0, яке зберігає будь-яке інше раціональне число при додаванні.

$\exists 0 \in \mathbb{Q} ~ \forall a \in \mathbb{Q} ~~ a+0=a$
Існування протилежних чисел. Будь-яке раціональне число має відповідне протилежне раціональне число, при додавання до якого дає 0.

$\forall a \in \mathbb{Q} ~ \exists \left( -a \right) \in \mathbb{Q} ~~ a + \left( -a \right) = 0$
Комутативність множення. Від зміни місць раціональних множників добуток не змінюється.

$\forall a,b \in \mathbb{Q} ~~ a \cdot b = b \cdot a$
Асоціативність множення. Порядок множення трьох раціональних чисел не впливає на результат.

$\forall a,b,c \in \mathbb{Q} ~~ \left( a \cdot b \right) \cdot c = a \cdot \left( b \cdot c \right)$
Існування одиниці. Існує раціональне число 1, яке зберігає будь-яке інше раціональне число при множенні.

$\exists 1 \in \mathbb{Q} ~ \forall a \in \mathbb{Q} ~~ a \cdot 1 = a$
Існування обернених чисел. Будь-яке раціональне число має відповідне обернене раціональне число, множення на яке дає 1.

$\forall a \in \mathbb{Q} ~ \exists a^{-1} \in \mathbb{Q} ~~ a \cdot a^{-1} = 1$
Дистрибутивність множення відносно додавання. Операція множення узгоджена з операцією додавання за допомогою розподільного закону:

$\forall a,b,c \in \mathbb{Q} ~~ \left( a+b \right) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$
Зв'язок відношення порядку з операцією додавання. До лівої й правої частин раціональної нерівності можна додавати одне й те ж раціональне число.

$\forall a,b,c \in \mathbb{Q} ~~ a<b \Rightarrow a+c<b+c$
Зв'язок відношення порядку з операцією множення. Ліву й праву частини раціональної нерівності можна множити на одне й те ж додатнє раціональне число.

$\forall a,b,c \in \mathbb{Q} ~~ c>0 \land a<b \Rightarrow a \cdot c < b \cdot c$
Аксіома Архімеда. Яким би не було раціональне число $a$ , можна взяти стільки одиниць, що їх сума буде більшою за $a$ .

$\forall a \in \mathbb{Q} ~ \exists n \in \mathbb{N} ~~ \sum_{k=1}^{n}1>a$

[ред.] Додаткові властивості

Решта властивостей раціональних чисел не входять до основних, бо вони не опираються на властивості цілих чисел, а можуть бути доведені з використанням основних властивостей чи за означенням певного математичного об'єкту. Таких властивостей дуже багато, ось деякі з них:

Друге відношення порядку «>» також транзитивне.

$\forall a,b,c \in \mathbb{Q} ~~ a>b \land b>c \Rightarrow a>c$
Добуток бідь-якого раціонального числа на нуль дорівнює нулю.

$\forall a \in \mathbb{Q} ~~ a \cdot 0 = 0$
Раціональні нерівності одного знаку можна почленно додавати.

$\forall a,b,c,d \in \mathbb{Q} ~~ a>b \land c>d \Rightarrow a+c>b+d$
Множина раціональних чисел $\mathbb{Q}$ є полем відносно операцій додавання та множення дробів.

$\left(\mathbb{Q}, +, \cdot \right)$ — поле
Кожне раціональне число є алгебраїчним.

$\mathbb{Q} \subset \mathbb{A}$

[ред.] Виноски

↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 30 — 31. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

[ред.] Дивіться також

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

Статті з математики, пов'язані з числами

[0] В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 30 — 31. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

[1]

Раціональні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Термінологія

[ред.] Формальне означення

[ред.] Пов'язані означення

[ред.] Властивості

[ред.] Основні властивості

[ред.] Додаткові властивості

[ред.] Виноски

[ред.] Дивіться також

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами