Раціональні числа

Раціональні числа — в математиці множина раціональних чисел ℚ визначається як множина нескоротних дробів із цілим чисельником і натуральним знаменником:

$\Q = \left\{ \frac{m}{n}, m \in \Z, n \in \N \right\}$

або як множина розв'язків рівняння

$nx=m, \quad n \in \N,\quad m \in \Z$,

тобто n — натуральне число, m — ціле число.

Множина раціональних чисел є підмножиною алгебраїчних та дійсних чисел.

Термінологія

Формальне означення

Можна дати формальне означення раціональних чисел як множини класів еквівалентності пар $\left\{ (m,\;n) \mid m \in \Z,\;n \in \N \right\}$ за відношенням еквівалентності

$(m,\;n)\sim (m',\;n') \iff m\cdot n'=m'\cdot n.$

При цьому операції додавання й множення визначаються так:

• $\left(m_1,\;n_1\right) + \left(m_2,\;n_2\right) = \left(m_1\cdot n_2 + m_2\cdot n_1,\;n_1\cdot n_2\right);$
• $\left(m_1,\;n_1\right)\cdot\left(m_2,\;n_2\right) = \left(m_1\cdot m_2,\;n_1 \cdot n_2\right).$

Пов'язані означення

Правильним зветься дріб, в якого модуль чисельника менший за модуль знаменника.

Дріб, який не є правильним, зветься неправильним.

Наприклад, дроби $\frac{3}{5}$, $\frac{7}{8}$ та $\frac{1}{2}$ є правильними, а $\frac{8}{3}$, $\frac{9}{5}$ та $\frac{2}{1}$ є неправильними.

Будь-яке ціле число можна подати в вигляді неправильного дробу зі знаменником 1.

Дріб, записаний як ціле число й правильний дріб, зветься змішаним дробом й розглядається як сума цього числа та дробу.

Наприклад, $2 \frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}$.

У строгій математичній літературі запис у вигляді змішаного дробу переважно не використовується через подібність позначення змішаного дробу з позначенням добутку цілого числа з дробом.

Властивості

Основні властивості

Для раціональних чисел виконуються шістнадцять основних властивостей, які можна отримати з властивостей цілих чисел.

1. Впорядкованість. Для будь-яких раціональних чисел $a$ та $b$ існує правило, яке дозволяє однозначно ідентифікувати між ними одне й тільки одне з трьох відношень: «$<$», «$>$» або «$=$». Це правило зветься правилом впорядкування і формулюється так: два невід'ємні числа $a=\frac{m_a}{n_a}$ та $b=\frac{m_b}{n_b}$ зв'язані тим же відношенням, що й два цілі числа $m_a \cdot n_b$ та $m_b \cdot n_a$; два недодатні числа $a$ та $b$ зв'язані тим же відношенням, що й два невід'ємні числа $\left| b \right|$ и $\left| a \right|$; якщо ж $a$ невід'ємне, а $b$ — від'ємне, то $a>b$.

   $\forall a,b \in \Q ~ \left( a<b \lor a>b \lor a=b \right)$

   

   

   Додавання дробів

2. Операція додавання. Для будь-яких раціональних чисел $a$ та $b$ існує правило додавання, яке ставить їм у відповідність певне раціональне число $c$. При цьому число $c$ зветься сумою чисел $a$ та $b$ й позначається $\left( a+b \right)$, а процес знаходження такого числа зветься додаванням. Правило додавання має такий вигляд: $\frac{m_a}{n_a}+\frac{m_b}{n_b}=\frac{m_a \cdot n_b + m_b \cdot n_a}{n_a \cdot n_b}$.

   $\forall a,b \in \mathbb{Q} ~ \exists \left( a+b \right) \in \Q$

3. Операція множення. Для будь-яких раціональних чисел $a$ та $b$ існує правило множення, яке ставить їм у відповідність певне раціональне число $c$. При цьому число $c$ зветься добутком чисел $a$ та $b$ й позначається $\left( a \cdot b \right)$, а процес знаходження такого числа зветься множенням. Правило множення має такий вигляд: $\frac{m_a}{n_a} \cdot \frac{m_b}{n_b}=\frac{m_a \cdot m_b}{n_a \cdot n_b}$.

   $\forall a,b \in \Q ~ \exists \left( a \cdot b \right) \in \Q$

4. Транзитивність відношення порядку. Для будь-якої трійки раціональних чисел $a$, $b$ та $c$ якщо $a$ менше $b$ та $b$ менше $c$, то $a$ менше $c$, а якщо $a$ дорівнює $b$ й $b$ дорівнює $c$, то $a$ дорівнює $c$.

   $\forall a,b,c \in \Q ~ \left( a<b \land b<c \Rightarrow a<c \right) \land \left( a=b \land b=c \Rightarrow a=c \right)$

5. Комутативність додавання. Від зміни місць раціональних доданків сума не змінюється.

   $\forall a,b \in \Q ~~ a+b=b+a$

6. Асоціативність додавання. Порядок додавання трьох раціональних чисел не впливає на результат.

   $\forall a,b,c \in \Q ~~ \left( a + b \right) + c = a + \left( b + c \right)$

7. Існування нуля. Існує раціональне число 0 (нуль), яке не змінює будь-яке інше раціональне число при додаванні.

   $\exists 0 \in \Q ~ \forall a \in \mathbb{Q} ~~ a+0=a$

8. Існування протилежних чисел. Будь-яке раціональне число має відповідне протилежне раціональне число, при додаванні до якого утворюється 0.

   $\forall a \in \Q ~ \exists \left( -a \right) \in \mathbb{Q} ~~ a + \left( -a \right) = 0$

9. Комутативність множення. Від зміни місць раціональних множників добуток не змінюється.

   $\forall a,b \in \Q ~~ a \cdot b = b \cdot a$

10. Асоціативність множення. Порядок множення трьох раціональних чисел не впливає на результат.

    $\forall a,b,c \in \Q ~~ \left( a \cdot b \right) \cdot c = a \cdot \left( b \cdot c \right)$

11. Існування одиниці. Існує раціональне число 1, яке не змінює будь-яке інше раціональне число при множенні.

    $\exists 1 \in \Q ~ \forall a \in \Q ~~ a \cdot 1 = a$

12. Існування обернених чисел. Будь-яке раціональне число, що не дорівнює нулю, має відповідне обернене раціональне число, множення на яке дає 1.

    $\forall a \in \Q ~ \exists a^{-1} \in \Q ~~ a \cdot a^{-1} = 1$

13. Дистрибутивність множення відносно додавання. Операція множення узгоджена з операцією додавання за допомогою розподільного закону:

    $\forall a,b,c \in \Q ~~ \left( a+b \right) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

14. Зв'язок відношення порядку з операцією додавання. До лівої й правої частин раціональної нерівності можна додавати одне й те ж раціональне число.

    $\forall a,b,c \in \Q ~~ a<b \Rightarrow a+c<b+c$

15. Зв'язок відношення порядку з операцією множення. Ліву й праву частини раціональної нерівності можна множити на одне й те ж додатнє раціональне число.

    $\forall a,b,c \in \Q ~~ c>0 \land a<b \Rightarrow a \cdot c < b \cdot c$

16. Аксіома Архімеда. Яким би не було раціональне число $a$, можна взяти стільки одиниць, що їхня сума буде більшою за $a$.

    $\forall a \in \Q ~ \exists n \in \N ~~ \sum_{k=1}^{n}1>a$

Додаткові властивості

Решта властивостей раціональних чисел не входять до основних, бо вони не опираються на властивості цілих чисел, а можуть бути доведені з використанням основних властивостей чи за означенням певного математичного об'єкта. Таких властивостей дуже багато, ось деякі з них:

• Друге відношення порядку «>» також транзитивне.

  $\forall a,b,c \in \Q ~~ a>b \land b>c \Rightarrow a>c$

• Добуток будь-якого раціонального числа на нуль дорівнює нулю.

  $\forall a \in \Q ~~ a \cdot 0 = 0$

• Раціональні нерівності одного знаку можна почленно додавати.

  $\forall a,b,c,d \in \Q ~~ a>b \land c>d \Rightarrow a+c>b+d$

• Множина раціональних чисел $\Q$ є полем відносно операцій додавання та множення дробів.

  $\left(\Q, +, \cdot \right)$ — поле

• Кожне раціональне число є алгебраїчним.

  $\Q \subset \mathbb{A}$

Топологічні властивості

Раціональні числа як підпростір евклідового простору $\R$ мають такі властивості:

• $\Q$ є F_σ-множиною в $\R$, але не є G_δ-множиною.
• $\Q$ - не замкнена,а її доповнення не відкрите.
• Евклідова метрика перетворює $\Q$ у метричний простір, який є цілком нормальним та паракомпактним.
• $\Q$, як зліченне об'єднання одноточкових підмножин - множина першої категорії.
• $\Q$ є сепарабельним простором.
• $\Q$ задовольняє другу аксіому зліченості.
• $\Q$ є компактною множиною, яка ніде не щільна.
• $\Q$, будучи зліченою, є σ-компактною.
• $\Q$ та $\R$\$\Q$ не перетинаються, але $\Q$ та $\R$\$\Q$ щільні у собі і не розрізнені, хоча обидва 0-розмірності.
• [0,1] в перетині з $\Q$ повністю обмежена, але не компактна.

Зліченність

Нумерація раціональних чисел

Зліченна множина — в теорії множин така нескінченна множина, елементи якої можна занумерувати натуральними числами. Легко довести, що множина раціональних чисел зліченна. Для цього достатньо привести алгоритм, який нумерує раціональні числа, тобто встановлює бієкцію між множинами раціональних і натуральних чисел. Ілюстрація зображує один з варіантів цього алгоритму. Існують і інші способи занумерувати раціональні числа. Наприклад, для цього можна використати ряд Фарея.

Лiтература

1."Counterexamples In Topology", Steen Seebach.

Див. також

• Раціональний вираз
• Дійсні числа
• Ірраціональне число
• Дроби