Формальні граматики

Формальна граматика або просто граматика в теорії формальних мов — спосіб опису формальної мови, тобто виділення деякої підмножини з множини всіх слів деякого скінченного алфавіту. Розрізняють породжувальні і аналітичні граматики — перші ставлять правила, за допомогою яких можна побудувати будь-яке слово мови, а другі дозволяють по даному слову визначити, входить воно в мову чи ні. Формальні граматики були введені американським вченим, математиком та філософом, Н. Хомським в 50-тих роках ХХ сторіччя.

Поняття алфавіту

Алфавіт — скінченна множина символів. ε — порожній ланцюжок, слово, послідовність. Алфавітом є об'єднання алфавітів, перетин, різниця алфавітів. Нехай Т — алфавіт, тоді:

• Т⁺ — множина усіх можливих послідовностей, що складені з елементів цього алфавіту крім порожньої послідовності ε.
• Т* — множина усіх можливих послідовностей, що складені з елементів цього алфавіту, будь-якої довжини. Отже: $T^* = T^+ \cup \{ \varepsilon \}$
• Т^k — множина усіх можливих послідовностей,що складені з елементів цього алфавіту, довжини не більше k.

Мова в алфавіті Т це множина ланцюжків скінченної довжини в цьому алфавіті. Зрозуміло, що кожна мова в алфавіті Т є підмножиною множини Т*.

Формальна граматика

Формальна граматика - це четвірка $\boldsymbol{G = \{N,T,P,S\}}$. Де:

• Т — алфавіт термінальних символів, терміналів (від англ. terminate - завершитись). Термінальні символи є алфавітом мови.
• N — алфавіт нетермінальних символів, нетерміналів. $T \cap N = \empty$; Нетермінали не входять в алфавіт мови.
• S — аксіома, спеціально виділений нетермінальний символ.

$\mbox{S}\in\mbox{N}$

• P — скінченна підмножина множини $(T \cup N)^+ \times(T \cup N)^*$. Інколи визначають так:$\alpha \in (T \cup N)^*\times N \times(T \cup N)^*, \beta \in (T \cup N)^*$.

Елемент (α,β) з множини Р називається правилом виводу і записується у вигляді $\alpha \to \beta$. Таким чином, ліва частина правила не може бути порожньою. Правила з однаковою лівою частиною записують: $\alpha \to \beta_1 \mid \beta_2 \mid ...\mid \beta_n$, $\beta_i \mbox{, i = 1,2,..,n}$ - називаются альтернативами правила виводу з ланцюжка $\alpha$.

Виведення в формальних граматиках

Ланцюжок $\beta \in (T \cup N)^*$ назвемо безпосередньо виведеним з ланцюжка $\alpha \in (T \cup N)^+$ в граматиці $G = \{T,N,S,P\}$ (позначається $\alpha \Rightarrow \beta$), якщо $\alpha = \xi_1 \gamma \xi_2 , \beta = \xi_1 \delta \xi_2: \xi_1 ,\xi_2 , \delta \in (T \cup N)^* , \gamma \in (T \cup N)^+ , \gamma \to \delta \in P$.

Ланцюжок $\beta \in (T \cup N)^*$ назвемо виведеним з ланцюжка $\alpha \in (T \cup N)^+$ в граматиці $G = \{T,N,S,P\}$ (позначається $\alpha \Rightarrow^* \beta$), якщо

$\exists \gamma_0,\gamma_1,...,\gamma_n, n\ge 0 : \alpha = \gamma_0 \Rightarrow \gamma_1 \Rightarrow ...\Rightarrow \gamma_n = \beta$

Термінальний рядок називається правильним(або сентенціальною формою) відносно граматики G якщо він виводиться з аксіоми цієї граматики.

Неоднозначності, та стратегії виводу

Граматика G називається неоднозначною, якщо існує декілька варіантів виводу слова ω в G ( ω ∈ L(G ) ).

Приклад. Розглянемо таку граматику G = <N, Σ, P, S> зі схемою Р.

S → S +S |S *S |a

Покажемо, що для ланцюжка ω = a + a + a існує щонайменше два варіанти виводу:

1. S ⇒ S + S ⇒ S + S + S ⇒ a + S + S ⇒ a + a + S ⇒ a + a + a
   

2. S ⇒ S + S ⇒ a + S ⇒ a + S + S ⇒ a + a + S ⇒ a + a + a
   

В теорії граматик розглядається декілька стратегій виведення ланцюжка ω в G.

Лівостороння стратегія виводу ланцюжка ω в G — це послідовність кроків безпосереднього виводу, при якій на кожному кроку до уваги береться перший зліва направо нетермінал.

Правостороння стратегія виводу ω в G протилежна лівосторонній стратегії. З виводом ω в G пов'язане синтаксичне дерево, яке визначає синтаксичну структуру програми.

Формальні мови

Формальна мова породжена граматикою G - це множина термінальних рядочків, що виводяться з аксіоми, тобто множина усіх правильних рядків.

$L(G) = \{\alpha \in T^*\mid S \Rightarrow^* \alpha \}$

З іношого боку, множина термінальних рядків, таких, що вони можуть бути виведені в граматиці G, називається мовою, що може бути розпізнана в даній граматиці, або допускається даною граматикою.

• Граматики G₁ та G₂ називаються еквівалентними, якщо $L(G_1) = L(G_2)$.
• Граматики G₁ та G₂ називаються майже еквівалентними, якщо $L(G_1) \cup \{\varepsilon\} = L(G_2) \cup \{\varepsilon\}$, тобто мови, ними породжувані, відрізняються не більш ніж на ε.

Граматика може бути породжуючою та розпізнавальною, це залежить від "напрямку" застосування правил. Для породжучих граматик виведення починається з аксіоми і закінчується термінальним рядком (рядком, що скаладається тільки з терміналів). А розпізнавальні аналізують вхідний термінальний рядок на правильність, чи можна такий рядок вивести в цій граматиці. Коротше кажучи - породжуючі це "згори вниз", а розпізнавальні - "знизу вгору". Остання задача є практичнішою і гострою.

Класифікація граматик

Хомський також запропонував класифікацію граматик. Він виділив чотири типи граматик.

Класифікація за Хомським

Тип 0. Граматики Типу 0

це найзагальніший клас граматик. На правила не накладаються ніяких обмежень, окрім зазначених у визначенні. Вони еквівалентні Машині Тюринга. Доведено існування мов, які породжуються граматиками типу 0, але не граматиками типу 1, але невідомі прості приклади таких мов.

Тип 1. Граматики Типу 1

нескорочуюча або контекстно-залежна(КЗ) граматика. Вибір означення не впливає на множину мов, породжуваних граматиками цього класу, оскільки доведено, що множина мов, породжуваних граматиками, що не укорочують, збігається із множиною мов, породжуваних КЗ-граматиками.

• Нескорочуючі граматики. Всі правила мають вигляд

  $\alpha\to\beta$

  $\alpha \in (T \cup N)^+, \beta \in (T \cup N)^*$

  $|\alpha|\le |\beta|$

  де $|\alpha|$ означає кількість символів у рядку $\alpha$.

• Контекстно-залежні граматики. Всі правила мають вигляд:

  $\alpha\to\beta$

  $\alpha = \xi_1A\xi_2, \beta = \xi_1\gamma\xi_2: A \in N, \gamma \in (T \cup N)^+, \xi_1,\xi_2 \in (T \cup N)^*$

Тип 2. Граматики Типу 2. Контекстно-вільні граматики(КВ)

Всі правила мають вигляд

$\alpha\to\beta$

$\alpha \in N, \beta \in (T \cup N)^*$

Тобто в усіх правилах цього виду зліва стоїть тільки один нетермінал. Тому вони і контекстно вільні, бо на використання правила для даного нетерміналу не впливають символи, що оточують його. Ці символи називають контекстом.

Тип 3. Граматики Типу 3. Регулярні граматики. А-граматики

можна визначити як праволінійну або ліволінійну граматику, або як змішану. Також ці мови називають скінченно-автоматними, бо вони еквівалентні скінченним автоматам, тобто клас мов, що породжуються граматиками типу 3, збігається з класом мов, які розпізнаються скінченими автоматами. Також ці граматики є основою регулярних виразів.

• Праволінійна граматика. Всі правила мають вигляд:

  $\alpha\to\beta$

  $\alpha \to \omega\beta, \beta\in N, \omega \in T^*$

  або

  $\alpha \to \omega, \omega \in T^*$

• Ліволінійна граматика. Всі правила мають вигляд:

  $\alpha\to\beta$

  $\alpha \to \beta\omega, \beta\in N, \omega \in T^*$

  або

  $\alpha \to \omega, \omega \in T^*$

Доведено, що праволінійні та ліволінійні граматики еквівалентні, і існує алгоритм для переведення правил граматики одного типу в інший тип.

Співвідношення між типами граматик

1. Будь-які граматики типу 3 є граматиками типу 2.
2. Будь-які КВ-граматики є граматиками типу 1 (КЗ або неукорочуючі), з точністю до ε.
3. Будь-які граматики типу 1 є граматиками типу 0.

Мова L(G) є мовою типу k, якщо її можна описати граматикою типу k.

Співвідношення між типами мов

1. кожна регулярна мова є КВ-мовою, але існують КВ- мови, що не є регулярними (наприклад, $L = \{a^nb^n \mid n>0\}$);
2. кожна КВ- мова є КЗ- мовою, але існують КЗ-мови, що не є КВ-мовами ( наприклад, $L = \{a^nb^nc^n \mid n>0\}$);
3. кожна КЗ-мова є мовою типу 0.

Варто підкреслити, що якщо мова задана граматикою типу k, то це не означає, що не існує граматики типу k' (k'>k), що описує ту ж мову. Тому, коли говорять про мову типу k, звичайно мають на увазі максимально можливе k.

Використання формальних граматик

Формальні граматики це дуже потужній математичний інструмент, який використовується в математичній та комп'ютерній лінгвістиці, описі мов програмування, розробці компіляторів в теорії програмування. Найбільш вживаними є КВ-граматики і регулярні, бо їх найлегше описати алгоритмічно.

Сама по собі концепція формальних граматик доволі гнучка, тому не дивно, що з'явилося багато інших інструментів, що розширють використання та потужність КВ-граматик і граматик третього типу. Наприклад, атрибутні граматики, LL-k граматики, скінченні автомати, регулярні вирази та множини.

Дивіться також

• Нотація Бекуса-Наура
• Синтаксичний аналіз
• Ієрархія Чомскі

Посилання

• Серебряков В.А., Галочкин М.П., Гончар Д.Р., Фуругян М.Г. Теория и реализация языков программирования //М.: МЗ-Пресс, 2006 г., 2-е изд. ISBN 94073-094-9. (рос.)
• Подборка ссылок на литературу по направлению.(рос.)