Формула Клейна — Нісіни

Залежність диференціального перетину розсіяння від кута розсіяння для різних значень енергій фотона

Формула Клейна—Нісіни — формула, що описує повний переріз комптонівського розсіювання світла на електроні.

Розсіювання, у якого падаюча хвиля змінює свою частоту, називається комптонівським розсіюванням. Диференційний та повний переріз такого розсіювання розраховується в квантовій електродинаміці. Воно спостерігається при розсіюванні рентгенівських променів на електронних оболонках атомів та розсіюванні гамма-променів на атомних ядрах.

Зміна довжини хвилі $\Delta \lambda$ при комптонівському розсіюванні визначається формулою:

$\Delta \lambda = 2\lambda_0 \sin^2 (\theta /2), \lambda_0 = h/m_0c, \lambda_0 = 2,426\cdot 10^{-12}$ м,

де $\lambda_0$ - комптонівська довжина хвилі електрона, $\theta$ - кут між напрямом падаючої та розсіяної хвиль, $h$ — стала Планка, $m_0$ — маса електрона, а $c$ — швидкість світла.

Частота випромінювання $\omega_2$ після розсіювання визначається формулою Комптона:

$\omega_2 = \frac{\omega_1}{1 + \epsilon (1 - \cos \theta)},$

де $\epsilon = \hbar \omega_1/m_0c^2$ , $\hbar = h/2\pi$ , а $\omega_1$ - частота падаючої хвилі. Повний переріз комптонівського розсіювання на вільному електроні:

$\sigma_k = \pi r_0^2 \frac{m_0c^2}{\hbar \omega }\left(\text{ln}\;\frac{2\hbar \omega }{m_0c^2} + \frac{1}{2} \right).$

Ця формула і називається формулою Клейна — Нісіни. Її отримали Оскар Клейн та Нісіна Йосіо 1928 року. Вона добре підтверджується експериментальними дослідженнями, якщо енергія $\hbar \omega$ падаючого фотона значно більша енергії електрона $m_0c^2, \hbar \omega \gg m_0c^2$ , тобто $\lambda \ll \lambda_0$ , де $\lambda_0$ — комптонівська довжина хвилі електрона.

Інтенсивність $I_2$ розсіяного випромінювання на віддалі $R$ від центру розсіювання зв'язана з інтенсивністю $I_1$ падаючої хвилі та відношенням частот $\omega_2 / \omega_1$ співвідношенням: