Комптонівське розсіювання

Квантова механіка

$\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип невизначеності

Вступ · Історія Математичні основи Основа Класична механіка · Інтерференція · Бра-кет нотація · Гамільтоніан · Стара квантова теорія Фундаментальні поняття Вектор стану · Хвильова функція · Суперпозиція · Заплутаність · Вимірювання · Невизначеність · Виключення Паулі · Дуалізм · Декогеренція · Теорема Еренфеста · Тунелювання Експерименти Дослід Девіссона — Джермера · Дослід Штерна — Герлаха · Кіт Шредінгера · Дослід Поппера · Дослід Юнга · Перевірка нерівностей Белла · Фотоефект · Ефект Комптона · Ефект Рамзауера Формулювання Картина Шредінгера · Картина Гейзенберга · Картина взаємодії · Матрична квантова механіка · Інтеграл вздовж траєкторій Рівняння Рівняння Шредінгера · Рівняння Паулі · Рівняння Клейна — Гордона · Рівняння Дірака Інтерпретації Копенгагенська інтерпретація · Теорія прихованих параметрів · Багатосвітова Складні теми Квантова теорія поля · Квантова електродинаміка · Квантова хромодинаміка · Квантова гравітація · Теорія всього Наближені методи Квазікласичне наближення · Теорія збурень · Варіаційний метод Відомі науковці Планк · Ейнштейн · Шредінгер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паулі · Дірак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Еверетт

Схематичне зображення Комптонового розсіювання на вільному електроні

Схематичне зображення розсіювання фотона на електроні зовнішньої оболонки атома

Комптонівське розсіювання — явище непружного розсіювання фотонів на вільних заряджених частинках, наприклад, електронах.

При копмтонівському розсіюванні фотон віддає частину своєї енергії зарядженій частинці. Як наслідок змінюється його власна енергія, а отже, довжина хвилі.

Явище непружного розсіяння рентгенівських і гамма-променів на електронах відкрив у 1923 Артур Комптон, за що отримав Нобелівську премію за 1927 рік. Важливість відкриття зумовлена тим, що в класичній фізиці зміна довжини електромагнітної хвилі при розсіюванні на вільній зарядженій частинці неможлива.

При непружному розсіюванні фотона на зарядженій частинці повинні виконуватися закон збереження енергії і закон збереження імпульсу. Ці обмеження роблять неможливим таке розсіювання для квантів електромагнітного поля з малою частотою.

Зміна довжини хвилі фотона при комптонівському розсіюванні на непорушному вільному електроні може бути обрахована за формулою

$\lambda^\prime - \lambda = \Lambda (1 - \cos \theta)$,

де θ — кут розсіювання, а величина

$\Lambda = \frac{h}{m_e c}$

називається комптонівською довжиною хвилі ($m_e$ — маса електрона, $h$ — стала Планка, c — швидкість світла) й є сталою для кожного типу зарядженої частинки. Комптонівська довжина хвилі чисельно дорівнює 2,4263·10⁻¹²м = 2,4263 пм

Енергія, втрачена фотоном при комптонівському розсіюванні, передається електрону. В результаті виникає високоенергетичний електрон віддачі.

Комптонівське розсіювання є основним каналом розсіювання електромагнітних хвиль на речовині в області енергій від 0,5 до 3 MеВ.

Постановка задачі

Розгляд задачі базується на спеціальній теорії відносності. Тому по замовчуванню математична модель комптонівського розсіювання є релятивістська. В рамках релятивістського підходу імпульс p та енергію E можна подати у вигляді:

$E^2 = p^2c^2 + m_0^2c^4$

де $v-$ швидкість частинки, $c$ — швидкість світла, а $m_0 -$ маса спокою частинки.

Більше того, релятивістський підхід дозволяє розглянути електромагнітне випромінювання як корпускулу — фотон у вигляді граничного переходу:

$v \to c, m_0 \to 0 \$,

в якого маса спокою дорівнює нулю, а швидкість збігається зі швидкістю світла. Таким чином, імпульс фотона можна переписати у вигляді:

$p = E/c \$.

Модель комптонівського розсіювання також базується на квантовому підході шляхом врахування енергії у викляді «квантів Планка»:

$E = \hbar \omega = h\nu = hc/\lambda \$.

$\hbar = h/2\pi - \$ зведена стала Планка. Тоді імпульс частинки можна переписати у вигляді:

$p = \frac{E}{c} = \frac{\hbar \omega }{c} = \frac{h\nu }{c} = \frac{h}{\lambda }$.

Модель Комптона використовує квазікласичний релятивістський підхід. У такому підході можна тільки отримати зміну довжини хвилі розсіяного фотона. Для обчислення перетину розсіяння необхідно застосувати рівняння квантової електродинаміки (див. Формула Клейна — Нісіни).

Закони збереження при розсіюванні

Закон збереження імпульса для фотон- електронного розсіювання можна записати у вигляді:

$\mathbf{k_0} = \mathbf{k} + \mathbf{p}$

де $k_0 \$ — імпульс фотона до розсіяння, $k \$ — імпульс розсіяного фотона, а $p \$ — імпульс розсіяного електрона. Тут по замовчуванню припускається, що імпульс електрона до акту розсіювання дорівнює нулю. Після нескладних алгебраїчних та тригонометричних перетворень закон збереження імпульса можна переписати у формі:

$p^2 = k_0^2 + k^2 - 2k_0k\cos \theta \$.

де $\theta \$ — кут між хвильовими векторами фотона до і після розсіяння. Закон збереження енергії для фотон-електронного розсіювання можна записати у вигляді:

$w_0 + E_0 = w + E \$

де $E_0 = m_0c^2 \$ — енергія спокою електрона, $w_0 = \hbar \omega_0 \$ — енергія фотона до розсіяння, а $w = \hbar \omega \$ — енергія розсіяного фотона. Енергія розсіяного електрона ($E$) береться із релятивістського рівняння для енергій.

Розв'язок задачі

Розв'язок задачі опускаючи нескладні алгебраїчні перетворення має вигляд взаємозв'язку між циклічними частотами падаючого та розсіяного фотонів:

$\frac{c}{\omega } - \frac{c}{\omega_0} = \frac{\hbar}{m_0c}(1 - \cos \theta )$

Враховуючи взаємозв'язок циклічної частоти із звичайною:

$\omega = 2\pi \nu = 2\pi c/\lambda \$

де $\nu \$ — лінійна частота коливань, а $\lambda \$ — довжина хвилі цих коливань, різницю між частотами можна подати у вигляді різниці довжин хвиль:

$\Delta \lambda = \lambda - \lambda_0 = 2\pi \frac{\hbar}{m_0c}(1 - \cos \theta ) = \Lambda (1 - \cos \theta )$

де $\Lambda = \frac{\hbar}{m_0c}$ — довжина хвилі комптонівського розсіювання електрона. Останню формулу можна переписати в компактній формі:

$\Delta \lambda = 2 \Lambda \sin^2 \theta /2 \$.

Див. також

• Формула Клейна — Нісіни

Література

• Шпольский Э. В. Атомная физика (в 2-х томах). — М.: Наука, 1974. — Т. 1. — 576 с.

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.