Комптонівське розсіювання

Схематичне зображення розсіювання фотона на електроні зовнішньої оболонки атома

Комптонівське розсіювання - явище непружного розсіювання фотонів на вільних заряджених частинках, наприклад, електронах.

При копмтонівському розсіюванні фотон віддає частину своєї енергії зарядженій частинці. Як наслідок змінюється його власна енергія, а отже, довжина хвилі.

Явище непружного розсіяння рентгенівських і гамма-променів на електронах відкрив у 1923 р. Артур Комптон, за що отримав Нобелівську премію у 1927 р.

При непружному розсіюванні фотона на зарядженій частинці повинні виконуватися закон збереження енергії і закон збереження імпульсу. Ці обмеження роблять неможливим таке розсіювання для квантів електромагнітного поля з малою частотою.

Зміна довжини хвилі фотона при комптонівському розсіюванні на непорушному вільному електроні може бути обрахована за формулою

$\lambda^\prime - \lambda = \Lambda (1 - \cos \theta)$,

де θ - кут розсіювання, а величина

$\Lambda = \frac{h}{m_e c}$

називається комптонівською довжиною хвилі ($m_e$ - маса електрона, $h$ - стала Планка, c - швидкість світла) й є сталою для кожного типу зарядженої частинки. Комптонівська довжина хвилі чисельно дорівнює 2,4263*10^-12м = 2,4263 пм

Енергія, втрачена фотоном при комптонівському розсіюванні, передається електрону. В результаті виникає високоенергетичний електрон віддачі.

Комптонівське розсіювання є основним каналом розсіювання електромагнітних хвиль на речовині в області енергій від 0,5 до 3 MеВ.

Постановка задачі

Розгляд задачі базується на спеціальній теорії відносності. Тому по замовчуванню математична модель комптонівського розсіювання є релятивістська. В рамках релятивістського підходу імпульс ($p$) та енергію ($W$) можна подати у вигляді:

$p = \frac{v}{c}W \$

$W^2 = p^2c^2 + m_0^2c^4$

де $v-$ швидкість частки, $c-$ швидкість світла, а $m_0 -$ маса спокою частки.

Більше того, релятивістський підхід дозволяє розглянути електромагнітне випромінювання як корпускулу - фотон у вигляді граничного переходу:

$v \to c, m_0 \to 0 \$,

в якого маса спокою рівна нулю, а швидкість збігається зі швидкістю світла. Таким чином, імпульс фотона можна переписати у вигляді:

$p = W/c \$.

Модель комптонівського розсіювання також базується на квантовому підході шляхом врахування енергії у викляді "квантів Планка":

$W = \hbar \omega = h\nu = hc/\lambda \$.

$\hbar = h/2\pi - \$ приведена стала Планка. Тоді імпульс частки можна переписати у вигляді:

$p = \frac{W}{c} = \frac{\hbar \omega }{c} = \frac{h\nu }{c} = \frac{h}{\lambda }$.

Із сказаного вище очевидно випливає, що модель Комптона належить до квазікласичного релятивістського підходу (тобто підхід Планка, Ейнштейна, Бора,...), а не до послідовної квантової релятивістської теорії, яка базується на якомусь диференційному рівнянні (типу Шредінгера, наприклад).

Закони збереження при розсіюванні

Навіть сьогодні при розгляді процесів розсіювання використовують т.з. модель чорного ящика. Тобто по замовчуванню припускається складність процесів розсіювання (в загальному випадку фізичний механізм - невідомий), тому важливими є лише фізичні параметри на вході та виході чорного ящика. В нашому випадку це імпульси та енергії. А взаємозв'язок між цими параметрами знаходиться із законів збереження імпульса та енергії. Закон збереження імпульса для фотон- електронного розсіювання можна записати у вигляді:

$\mathbf{k_0} = \mathbf{k} + \mathbf{p}$

де $k_0- \$ імпульс налітаючого фотона, $k- \$ імпульс розсіяного фотона, а $p- \$ імпульс розсіяного електрона. Тут по замовчуванню припускається, що імпульс електрона до акту розсіювання рівний нулю. Після нескладних алгебраїчних та тригонометричних перетворень закон збереження імпульса можна переписати у формі:

$p^2 = k_0^2 + k^2 - 2k_0k\cos \phi \$.

де $\phi \$ - кут між розсіяним та налітаючим фотоном. Закон збереження енергії для фотон- електронного розсіювання можна записати у вигляді:

$w_0 + W_0 = w + W \$

де $W_0 = m_0c^2 \$ - енергія спокою електрона, $w_0 = \hbar \omega_0 \$ - енергія налітаючого фотона, а $w = \hbar \omega \$ - енергія розсіяного фотона. Тут лише слід відзначити, що енергія розсіяного електрона ($W$) береться із релятивістського рівняння для енергій.

Розв'язок задачі

Розв'язок задачі опускаючи нескладні алгебраїчні перетворення має вигляд взаємозв'язку між циклічними частотами падаючого та розсіяного фотонів:

$\frac{c}{\omega } - \frac{c}{\omega_0} = \frac{\hbar}{m_0c}(1 - \cos \phi )$

Враховуючи взаємозв'язок циклічної частоти із звичайною:

$\omega = 2\pi \nu = 2\pi c/\lambda \$

де $\nu - \$ звичайна частота коливань, а $\lambda \$ - довжина хвилі цих коливань, різницю між частотами можна подати у вигляді різниці довжин хвиль:

$\Delta \lambda = \lambda - \lambda_0 = 2\pi \frac{\hbar}{m_0c}(1 - \cos \phi ) = \lambda_C (1 - \cos \phi )$

де $\lambda_C = \frac{\hbar}{m_0c}$ - довжина хвилі комптонівського розсіювання електрона. Використовуючи тривіальне тригонометричне співвідношення, останню формулу можна переписати в компактній формі:

$\Delta \lambda = 2 \lambda_C \sin^2 \phi /2 \$.

Дивіться також

Формула Клейна — Нішіни

Література

• Шпольский Э.В. Атомная физика, т.1: Введение в атомную физику. Учебное пособие.- 7-е изд.- М.: Наука. 1984.- 552с.