Комптонівське розсіювання

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Квантова механіка
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип невизначеності
Вступ · Історія
Математичні основи
Схематичне зображення Комптонового розсіювання на вільному електроні
Схематичне зображення розсіювання фотона на електроні зовнішньої оболонки атома

Комптонівське розсіювання — явище непружного розсіювання фотонів на вільних заряджених частинках, наприклад, електронах.

При копмтонівському розсіюванні фотон віддає частину своєї енергії зарядженій частинці. Як наслідок змінюється його власна енергія, а отже, довжина хвилі.

Явище непружного розсіяння рентгенівських і гамма-променів на електронах відкрив у 1923 Артур Комптон, за що отримав Нобелівську премію за 1927 рік. Важливість відкриття зумовлена тим, що в класичній фізиці зміна довжини електромагнітної хвилі при розсіюванні на вільній зарядженій частинці неможлива.

При непружному розсіюванні фотона на зарядженій частинці повинні виконуватися закон збереження енергії і закон збереження імпульсу. Ці обмеження роблять неможливим таке розсіювання для квантів електромагнітного поля з малою частотою.

Зміна довжини хвилі фотона при комптонівському розсіюванні на непорушному вільному електроні може бути обрахована за формулою

 \lambda^\prime - \lambda = \Lambda (1 - \cos \theta) ,

де θ — кут розсіювання, а величина

 \Lambda = \frac{h}{m_e c}

називається комптонівською довжиною хвилі (m_e  — маса електрона, h  — стала Планка, c — швидкість світла) й є сталою для кожного типу зарядженої частинки. Комптонівська довжина хвилі чисельно дорівнює 2,4263·10−12м = 2,4263 пм

Енергія, втрачена фотоном при комптонівському розсіюванні, передається електрону. В результаті виникає високоенергетичний електрон віддачі.

Комптонівське розсіювання є основним каналом розсіювання електромагнітних хвиль на речовині в області енергій від 0,5 до 3 MеВ.

Постановка задачі[ред.ред. код]

Розгляд задачі базується на спеціальній теорії відносності. Тому по замовчуванню математична модель комптонівського розсіювання є релятивістська. В рамках релятивістського підходу імпульс p та енергію E можна подати у вигляді:

E^2 = p^2c^2 + m_0^2c^4

де v- швидкість частинки, c  — швидкість світла, а m_0 - маса спокою частинки.

Більше того, релятивістський підхід дозволяє розглянути електромагнітне випромінювання як корпускулу — фотон у вигляді граничного переходу:

v \to c, m_0 \to 0 \ ,

в якого маса спокою дорівнює нулю, а швидкість збігається зі швидкістю світла. Таким чином, імпульс фотона можна переписати у вигляді:

p = E/c \ .

Модель комптонівського розсіювання також базується на квантовому підході шляхом врахування енергії у викляді «квантів Планка»:

E = \hbar \omega = h\nu = hc/\lambda \ .

\hbar = h/2\pi - \ зведена стала Планка. Тоді імпульс частинки можна переписати у вигляді:

p = \frac{E}{c} = \frac{\hbar \omega }{c} = \frac{h\nu }{c} = \frac{h}{\lambda }.

Модель Комптона використовує квазікласичний релятивістський підхід. У такому підході можна тільки отримати зміну довжини хвилі розсіяного фотона. Для обчислення перетину розсіяння необхідно застосувати рівняння квантової електродинаміки (див. Формула Клейна — Нісіни).

Закони збереження при розсіюванні[ред.ред. код]

Закон збереження імпульса для фотон- електронного розсіювання можна записати у вигляді:

 \mathbf{k_0} = \mathbf{k} + \mathbf{p}

де k_0 \  — імпульс фотона до розсіяння, k \  — імпульс розсіяного фотона, а p \  — імпульс розсіяного електрона. Тут по замовчуванню припускається, що імпульс електрона до акту розсіювання дорівнює нулю. Після нескладних алгебраїчних та тригонометричних перетворень закон збереження імпульса можна переписати у формі:

p^2 = k_0^2 + k^2 - 2k_0k\cos \theta \ .

де \theta \  — кут між хвильовими векторами фотона до і після розсіяння. Закон збереження енергії для фотон-електронного розсіювання можна записати у вигляді:

w_0 + E_0 = w + E \

де E_0 =  m_0c^2 \  — енергія спокою електрона, w_0 = \hbar \omega_0 \  — енергія фотона до розсіяння, а w = \hbar \omega \  — енергія розсіяного фотона. Енергія розсіяного електрона (E) береться із релятивістського рівняння для енергій.

Розв'язок задачі[ред.ред. код]

Розв'язок задачі опускаючи нескладні алгебраїчні перетворення має вигляд взаємозв'язку між циклічними частотами падаючого та розсіяного фотонів:

\frac{c}{\omega } - \frac{c}{\omega_0} = \frac{\hbar}{m_0c}(1 - \cos \theta )

Враховуючи взаємозв'язок циклічної частоти із звичайною:

\omega = 2\pi \nu = 2\pi c/\lambda \

де \nu  \  — лінійна частота коливань, а \lambda \  — довжина хвилі цих коливань, різницю між частотами можна подати у вигляді різниці довжин хвиль:

\Delta \lambda = \lambda - \lambda_0 = 2\pi \frac{\hbar}{m_0c}(1 - \cos \theta ) = \Lambda (1 - \cos \theta )

де \Lambda = \frac{\hbar}{m_0c} — довжина хвилі комптонівського розсіювання електрона. Останню формулу можна переписати в компактній формі:

\Delta \lambda = 2 \Lambda \sin^2 \theta /2 \ .

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Шпольский Э. В. Атомная физика (в 2-х томах). — М.: Наука, 1974. — Т. 1. — 576 с.


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.