Група вузла

Група вузла — характеристика вузла, що визначається як фундаментальна група його доповнення.

Визначення

Нехай $K\subset \mathbb {R} ^{3}$ — вузол. Тоді група вузла вузла визначається як фундаментальна група $\pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K)$ .^[1]

Коментар

За іншими домовленостями вузол розглядається як вкладення кола в 3-сферу. В цьому випадку групу вузла визначають як фундаментальну групу його доповнення в $S^{3}$ . Обидва визначення дають ізоморфні групи.

Властивості

Два еквівалентних вузли мають ізоморфні групи вузлів, так що група вузла є інваріантом вузла і може бути використана для встановлення нееквівалентності пари вузлів. Однак два нееквівалентних вузли можуть мати ізоморфні групи вузлів (див. приклад нижче).

Абелізація вузла завжди ізоморфна нескінченній циклічній групі $\mathbb {Z}$ . Це випливає з того, що абелізація збігається з першою групою гомологій, яку легко обчислити.

Групу вузлів (а також фундаментальну групу орієнтованих зачеплень у загальному випадку) можна обчислити за допомогою порівняно простих алгоритмів, використовуючи подання Віртингера^[en].

Приклади

Група тривіального вузла ізоморфна $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ .
- Зворотне також істинне.
Група трилисника ізоморфна групі кіс $B^{3}$ , ця група має задання:
$\langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle$ або $\langle a,b\mid aba=bab\rangle$ .
Група $(p,q)$ -торичного вузла має задання:
$\langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle$ .
Група вісімки має задання:
$\langle x,y\mid yxy^{-1}xy=xyx^{-1}yx\rangle$ .
Прямий вузол і бабин вузол мають ізоморфні групи вузлів, але ці вузли не еквівалентні.