Дикий вузол

Приклад дикого вузла

Ди́кий ву́зол — патологічне вкладення кола в простір.

Дикі вузли можна знайти в деяких кельтських візерунках.^{[джерело?]}

Визначення

Вузол називається ручним, якщо він може бути «потовщений», тобто якщо існує його розширення до повного тора S ¹ × D ², який допускає вкладення в 3-сферу. В теорії вузлів і в теорії 3-многовидів часто слово «ручний» опускають.

Вузли, які не є ручними, називаються дикими і можуть мати патологічний поведінку.

Приклади

Дуга Фокса — Артіна

Дикими є вузли, що містять так звані дуги Фокса — Артіна — деякі прості дуги, отримані диким вкладенням в $E^{3}$. Наприклад, для дуги $L_{1}$ фундаментальна група $p_{1}$($E^{3}L$) нетривіальна, для дуги $L_{2}$ група ${\pi }_{1}(E^{3}/L)$ тривіальна, але саме $E^{3}/L$ не гомеоморфне доповненню в $E^{3}$ до точки.

На малюнку наведено дикий вузол з однією дикою (патологічною) точкою. Легко побудувати дикий вузол, що містить кілька патологічних точок, нескінченне число таких точок, і навіть незліченну множину патологічних точок. У книзі Сосинського наведено побудову дикого вузла, патологічні точки якого утворюють множину Кантора.

Можна представити і дикий вузол, що містить більш складну множину — намисто Антуана.

Властивості

• Вузол є ручним тоді і тільки тоді, коли його можна подати у вигляді скінченної ламаної.
• Гладкі вузли є ручними.

Варіації та узагальнення

• Нетривіальні дикі вузли з'являються й у сферах старших розмірностей. Наприклад, за теоремою про подвійну надбудову, подвійна надбудова над сферою Пуанкаре гомеоморфна стандартній сфері $\mathbb {S} ^{5}$. При цьому екватор подвійної надбудови утворює в $\mathbb {S} ^{5}$ дикий вузол і його доповнення має нетривіальну фундаментальну групу.

Див. також

• Дика сфера

Література

• L. H. Kauffman. An invariant of regular isotopy // Transactions of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1990. — Т. 318, № 2 (4 червня). Архівовано з джерела 27 вересня 2011. Процитовано 23 вересня 2020.
• А. Б. Сосинский. Узлы. Хронология одной математической теории. — Москва : МЦНМО, 2005. — ISBN 5-94057-220-0.