Сателітний вузол

В математичній теорії вузлів сателітний вузол — це вузол, що містить у своєму доповненні нестисний, тор, що не є ∂-паралельним. Кожен вузол є або гіперболічним, або торичним, або сателітним. До класу сателітних вузлів належать складені вузли, кабельні вузли та дублі Вайтгеда. (Див. означення останніх двох класів нижче в розділі Основні сімейства). Сателітне зачеплення — це зачеплення, яке обертається навколо супровідного вузла K в тому сенсі, що воно лежить усередині його регулярного околу.

Приклад 1. Сума трилисника і вісімки.

Сателітний вузол $K$ можна наочно описати так: візьміть нетривіальний вузол $K'$, що лежить всередині незавузленого повнотора $V$. Тут «нетривіальний» означає, що вузол $K'$ не може лежати в 3-сфері, яка міститися у $V$ і $K'$ не може бути ізотопним центральній кривій суцільного тора. Потім повнотор зав'яжіть у нетривіальний вузол.

Приклад 2. Дубль Вайтгеда вісімки.

Це означає, що існує нетривіальне вкладення $f\colon V\to S^{3}$ і $K=f(K')$. Центральна крива повнотора $V$ переходить на вузол $H$, який називається «супровідним вузлом» і грає роль планети, навколо якої облітає «сателітний вузол» $K$. Побудова гарантує, що $f(\partial V)$ — не ∂-паралельний нестисливий тор у доповненні до $K$. Складені вузли містять особливий вид нестисного тора — охопно-ковзний^{[уточнити]} (англ. swallow-follow torus) — який охоплює один доданок та проходить уздовж іншого.

Приклад 3: Кабельна сума

Якщо $V$ — незавузлений повнотор, то $S^{3}\setminus V$ є трубчастим околом безвузла $J$. Двокомпонентне з'єднання $K'\cup J$ разом із вкладенням $f$ називається шаблоном, пов'язаним із сателітною операцією.

Домовленість: зазвичай вимагається, що вбудовування $f\colon V\to S^{3}$ розкручене в тому сенсі, що $f$ необхідно надіслати стандартну довготу $V$ до стандартної довготи $f(V)$. Іншими словами, для будь-яких двох неперетинних кривих $c_{1},c_{2}\subset V$, $f$ зберігає їхні числа зв'язків, тобто: $lk(f(c_{1}),f(c_{2}))=lk(c_{1},c_{2})$.

Основні сімейства

Якщо $K'\subset \partial V$ — торичний вузол, то $K$ називають кабельним вузлом. Приклади 3 і 4 є кабельними вузлами.

Якщо $K'$ — нетривіальний вузол в $S^{3}$ і якщо диск стиснення для $V$ перетинає $K'$ рівно в одній точці, то $K$ називають сумою підключення. Іншими словами, візерунок $K'\cup J$ є сумою нетривіального вузла $K'$ з зачеплення Гопфа.

Якщо зачеплення $K'\cup J$ — зачеплення Вайтгеда, то $K$ називають дублем Вайтгеда. Якщо $f$ розкручений, $K$ називають розкрученим дублем Вайтгеда.

Приклади

Приклад 1: Сума з'єднання вузла-вісімки і трилистника.

Приклад 2: Розкручений дубль Вайтгеда вісімки.

Приклад 3: Кабельна сума.

Приклад 4: Кабельний трилисник.

Приклади 5 і 6 є варіантами однієї конструкції. Обидва вони мають у своїх доповненнях два непаралельних, не ∂-паралельних нестисливих тори, що розбивають доповнення на об'єднання трьох многовидів. У прикладі 5 ці многовиди: доповнення кілець Борромео, доповнення трилисника та доповнення вісімки. У прикладі 6 доповнення до вісімки замінено ще одним доповненням трилисника.

Приклад 4. Кабельний трилисник.

Приклад 5. Вузол, який є дворазово сателітним, оскільки він має непаралельні охопно-ковзні тори.

Приклад 6. Вузол, який є дворазово сателітним, оскільки має непаралельні охопно-ковзні тори.

Походження

1949 року Горст Шуберт довів, що кожен орієнтований вузол в $S^{3}$ розкладається як сума простих вузлів унікальним способом, аж до переупорядкування, роблячи моноїд орієнтованих ізотопічних класів вузлів у $S^{3}$ вільним комутативним моноїдом на зліченно-нескінченній кількості твірних. Незабаром після цього він зрозумів, що може надати нове доведення своєї теореми шляхом ретельного аналізу нестисливих торів, присутніх у доповненні суми. Це привело його до вивчення нестисливих торів у доповненнях вузлів у його відомій роботі Knoten und Vollringe, де він визначив сателітні та супровідні вузли.

Подальші роботи

Демонстрація Шубертом того, що нестисливі тори відіграють важливу роль у теорії вузлів, була однією з ранніх ідей, що привели до об'єднання теорії 3-многовидів і теорії вузлів. Це привернуло увагу Вальдгаузена, який пізніше використав нестисливі поверхні, щоб показати, що великий клас 3-многовидів гомеоморфний тоді і тільки тоді, коли їхні фундаментальні групи ізоморфні. Вальдгаузен припустив розклад 3-многовидів уздовж сфер і нестисливих торів, відомий зараз як розклад 3-многовидів Жако — Шалена — Йогансона. Пізніше це стало основним компонентом розвитку геометризації, яку можна розглядати як часткову класифікацію 3-вимірних многовидів. Відгалуження теорії вузлів вперше описано в довго не публікованому рукописі Бонахона і Зібенмана.

Унікальність сателітної декомпозиції

У роботі Knoten und Vollringe Шуберт довів, що в деяких випадках існує по суті унікальний спосіб подати вузол як сателітний. Але є також багато відомих прикладів, коли розклад не є унікальним. З належним чином розширеним поняттям сателітної операції, що називається сплайсингом, розклад Жако — Шалена — Йогансона дає відповідну теорему унікальності для сателітних вузлів.

Див. також

• Гіперболічний вузол
• Торичний вузол