Многочлен вузла

Багато многочленів вузла обчислюються за допомогою скейн-співвідношень, які дозволяють, змінюючи типу перетину, звести вузол до простішого.

В теорії вузлів многочлен вузла — це інваріант вузла у вигляді многочлена, коефіцієнти якого кодують деякі властивості даного вузла.

Історія

Перший многочлен вузла, многочлен Александера, представив ще 1923 року Джеймс Александер, але інші многочлени вузла знайдено лише майже 60 років по тому.

У 1960-х роках Джон Конвей запропонував скейн-співвідношення для версії многочлена Александера, який зазвичай згадують як многочлен Александера — Конвея. Важливість скейн-співвідношень недооцінювали до 1980-х років, коли Воен Джонс відкрив многочлен Джонса. Це відкриття привело до виявлення ще кількох многочленів, таких як многочлен HOMFLY.

Незабаром після відкриття Джонса Луїс Кауфман зауважив, що многочлен Джонса можна обчислити в термінах моделі сум станів, яка використовує дужки Кауфмана, інваріант оснащених вузлів. Це відкрило широку дорогу для досліджень в галузі теорії зачеплення вузлів і статистичній механіці.

В кінці 1980-х років здійснено два прориви: Едвард Віттен продемонстрував, що многочлен Джонса і схожі інваріанти цього типу описано в теорії Черна — Саймонса; Віктор Васильєв і Михайло Гусаров створили теорію інваріантів скінченного типу вузлів. Відомо, що коефіцієнти згаданих многочленів мають скінченний тип (можливо, після деякої «підстановки змінних»).

2003 року показано, що многочлен Александера пов'язаний з гомологією Флоєра. Градуйована ейлерова характеристика гомології Гегора — Флоєра Ожвата і Сабо є многочленом Александера.

Приклад

Запис Александера — Бріггса	Многочлен Александера $\Delta (t)$	Многочлен Конвея$\nabla (z)$	Многочлен Джонса $V(q)$	Многочлен HOMFLY$H(a,z)$
$0_{1}$ (тривіальний вузол)	$1$	$1$	$1$	$1$
$3_{1}$ (Трилисник)	$t-1+t^{-1}$	$z^{2}+1$	$q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}$	$-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}$
$4_{1}$ (Вісімка)	$-t+3-t^{-1}$	$-z^{2}+1$	$q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}$	$a^{2}+a^{-2}-z^{2}-1$
$5_{1}$ (Перстач)	$t^{2}-t+1-t^{-1}+t^{-2}$	$z^{4}+3z^{2}+1$	$q^{-2}+q^{-4}-q^{-5}+q^{-6}-q^{-7}$	$-a^{6}z^{2}-2a^{6}+a^{4}z^{4}+4a^{4}z^{2}+3a^{4}$
$-$ (Бабин вузол)	$\left(t-1+t^{-1}\right)^{2}$	$\left(z^{2}+1\right)^{2}$	$\left(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\right)^{2}$	$\left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)^{2}$
$-$ (Прямий вузол)	$\left(t-1+t^{-1}\right)^{2}$	$\left(z^{2}+1\right)^{2}$	$\left(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\right)\left(q+q^{3}-q^{4}\right)$	$\left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)\times$ $\left(-a^{-4}+a^{-2}z^{-2}+2a^{-2}\right)$

Запис Александера — Бріггса — це нотація, яка перелічує вузли за їхнім числом перетинів, при цьому зазвичай до списку включають лише прості вузли (дивіться Список простих вузлів).

Зауважимо, що многочлен Александера і многочлен Конвея НЕ МОЖУТЬ розрізнити лівий і правий трилисники.

• 
  Лівий трилисник
• 
  Правий трилисник

Не розрізняють вони також бабин вузол і прямий вузол, оскільки композиція вузлів у $\mathbb {R} ^{3}$ дає добуток многочленів вузлів.

Див. також

Многочлени вузла

• Многочлен Александера
• Дужка Кауфмана
• Многочлен HOMFLY
• Многочлен Джонса
• Многочлен Кауфмана

Пов'язані теми

• Скейн-співвідношення для формального визначення многочлена Александера.

Література

• Colin Adams. The Knot Book. — American Mathematical Society. — ISBN 0-8050-7380-9.
• W. B. R. Lickorish. An introduction to knot theory. — New York : Springer-Verlag, 1997. — Т. 175. — (Graduate Texts in Mathematics) — ISBN 0-387-98254-X.
• Peter S. Ozsváth, Zoltán Szabó. Heegaard Floer homology and alternating knots // Geom. Topol. — 2003. — Вип. 7 (4 червня).