Торичний вузол

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
(3,7)-торичний вузол.
Приз eureleA у вигляді (2,3)-торичного вузла.
(2,8)-торичне зачеплення

Торичний вузол — особливий вид вузлів, що лежать на поверхні незавузленого тора в .

Торичне зачеплення — зачеплення, що лежить на поверхні тора.

Кожен торичний вузол визначається парою взаємно простих цілих чисел і . Торичне зачеплення виникає, коли і не взаємно прості (в цьому випадку число компонент дорівнює найбільшому спільному дільнику і ). Торичний вузол є тривіальним тоді і тільки тоді, коли або , або дорівнює 1 або -1. Найпростішим нетривіальним прикладом є (2,3)-торичний вузол, відомий також як трилисник.

(2, -3)-торичний вузол, відомий також як лівий трилисник

Геометричне подання

[ред. | ред. код]

Торичний вузол можна подати геометрично різними способами, топологічно еквівалентними, але геометрично різними.

Зазвичай використовується домовленість, що -торичний вузол обертається разів навколо кругової осі тора і разів навколо осі обертання тора. Якщо і не взаємно прості, то виходить торичне зачеплення, що має більше однієї компоненти. Домовленості про напрямок обертання ниток навколо тора також різні, найчастіше припускається правий гвинт для [1][2][3].

-торичний вузол можна задати параметризацією:

,
,
,

де і . Він лежить на поверхні тора, що задається формулою циліндричних координатах).

Можливі й інші параметризації, оскільки вузли визначені з точністю до неперервної деформації. Приклади для (2,3)- і (3,8)-торичних вузлів можна отримати, прийнявши , а в разі (2,3)-торичного вузла — шляхом віднімання і з наведених вище параметризацій і .

Властивості

[ред. | ред. код]
Діаграма (3, -8)-торичного вузла.

Торичний вузол є тривіальним тоді і тільки тоді, коли або , або дорівнює 1 або -1 [2] [3] .

Кожен нетривіальний торичний вузол є простим і хіральним.

-торичний вузол еквівалентний -торичному вузлу[1][3]. -торичний вузол є оберненим (дзеркальним відображенням) -торичного вузла[3]. -торичний вузол еквівалентний -торичному вузлу, за винятком орієнтації.

(3, 4)-торичний вузол на розвороті поверхні тора і слово коси

Будь-який -торичний вузол можна побудувати з замкнутої коси з нитками. Відповідне слово коси[4]:

.

Ця формула використовує домовленість, що генератори коси використовують праві обертання[2][4][5][6].

Число перетинів -торичного вузла з задається формулою:

.

Рід торичного вузла з дорівнює:

Многочлен Александера торичного вузла дорівнює[1][4]:

.

Многочлен Джонса (правогвинтовий) торичного вузла задається формулою:

.

Доповнення торичного вузла на 3-сфері — це многовид Зейферта.

Нехай  — -мірний блазенський ковпак з диском, видаленим всередині,  — -вимірний блазенський ковпак з диском, видаленим всередині, і  — фактор-простір, отриманий ототожненням і вздовж межі кола. Доповнення -торичного вузла є деформаційним ретрактом простору . Таким чином, група вузла торичного вузла має подання:

.

Торичні вузли — це єдині вузли, чиї групи вузла мають нетривіальні центри (які є нескінченними циклічними групами, утвореними елементом з цього подання).

Перелік

[ред. | ред. код]

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]
  • Charles Livingston. Knot theory. — Mathematical Association of America, 1993. — ISBN 0-88385-027-3.(англ.)
  • Kunio Murasugi. Knot theory and its applications. — Birkhäuser, 1996. — ISBN 3-7643-3817-2.(англ.)
  • Akio Kawauchi. A survey of knot theory. — Birkhäuser, 1996. — ISBN 3-7643-5124-1.(англ.)
  • W. B. R. Lickorish. An introduction to knot theory. — Springer, 1997. — ISBN 0-387-98254-X.(англ.)
  • J. S. Birman, T. E. Brendle. Handbook of knot theory / W. Menasco, M. Thistlethwaite. — Elsevier, 2005. — ISBN 0-444-51452-X..(англ.)
  • J. Milnor. Singular Points of Complex Hypersurfaces. — Princeton University Press, 1968. — ISBN 0-691-08065-8.(англ.)

Посилання

[ред. | ред. код]