Булева алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Булева алгебра утворена
підмножинами множини {x,y,z}

Бу́лева а́лгебра — це алгебраїчна структура, що є доповненою дистрибутивнною ґраткою, та частина математики яка вивчає подібні структури.

Алгебра логіки — застосування алгебраїчних методів і символіки для вивчення логічних відношень і розв'язання логічних задач.

Формальне визначення[ред.ред. код]

Булева алгебраалгебраїчна структура з двома бінарними операціями:

  • \land («meet», «булеве множення») — узагальнення кон'юнкції,
  • \lor («join», «булеве додавання») — узагальнення диз'юнкції,

та унарною операцією:

що задовільняють такі аксіоми:

 a \lor b = b \lor a,  a \land b = b \land a (комутативність)
 a \lor (b \lor c) = (a \lor b) \lor c,  a \land (b \land c) = (a \land b) \land c (асоціативність)
 (a \lor b) \land b = b,  (a \land b) \lor b = b (закон поглинання)
 a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c),  a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c) (дистрибутивність)
(a \lor \bar{a}) \land b = b, (a \land \bar{a}) \lor b = b (доповнення)

Аксіоми 1,2,3 визначають ґратку.

Аксіоми 1,2,3,4 визначають дистрибутивну ґратку.

Аксіоми 1,2,3,5 визначають доповнену ґратку.

З аксіом випливають такі теореми:

a \lor a = a, a \land a = a (ідемпотентність)
a \lor \bar{a} = b \lor \bar{b}, a \land \bar{a} = b \land \bar{b}

Тобто вирази a \lor \bar{a} та a \land \bar{a} не залежать від вибору елемента.

Елемент a \lor \bar{a} називається булевою одиницею 1, елемент a \land \bar{a} називається булевим нулем 0.

 a \lor 0 = a,  a \land 0 = 0
 a \lor 1 = 1,  a \land 1 = a
 \lnot 0 = 1,  \lnot 1 = 0
 \lnot (a \lor b) = \lnot a \land \lnot b,  \lnot (a \land b) = \lnot a \lor \lnot b (правила де Моргана)
 \lnot \lnot a = a . (інволюція заперечення)

Над множиною A також визначене бінарне відношення ≤, яке має назву відношення нестрогого порядку та відповідає умовам:

  1. x≤x (рефлективність)
  2. якщо x≤y та y≤x, то x=y (антисиметричність)
  3. якщо x≤y та y≤z, то x≤z (транзитивність)

Замість x≤y можна писати у≥x. Множина з таким відношенням має назву впорядкованої.

Нехай S — підмножина елементів впорядкованої множини A. Елемент a' має назву верхньої (нижньої) границі S, якщо для будь-якого а з S справедливе a ≤ a' (a ≥ a'). Якщо множина усіх верхніх (нижніх_ границь множини S містить найменший (найбільший) елемент, то він має назву точної верхньої (точної нижньої) границі і позначається sup S(inf S). Якщо для будь-яких a, b з множини A існують inf (a, b) та sup (a, b), то така множина називається структурою або решіткою. Точна верхня границя такої множини є a \land b, точна нижня границя є a \lor b.

Зв'язок з булевим кільцем[ред.ред. код]

Кожна булева алгебра еквівалентна булевому кільцю і навпаки:

Операції булевого кільця:

a + b = (a \land {\neg}b) \lor (b \land {\neg}a)
a b = a \land b

Кожна скінченна булева алгебра ізоморфна алгебрі всіх підмножин скінченної множини (полю множин). Тому число елементів булевої алгебри завжди є ступенем 2.

Аксіоматизація[ред.ред. код]

В 1933 американський математик Едвард Хантінгтон запропонував наступну аксіоматизацію для булевих алгебр:

  • комутативність: a \lor b = b \lor a
  • асоціативність: a \lor \left(b \lor c\right) = \left(a \lor b\right) \lor c
  • аксіома Хантінгтона: \neg \left( \neg a \lor b \right) \lor \neg \left( \neg a \lor \neg b \right) = a.

Герберт Робінс задав питання: чи можна скоротити третю аксіому так, як подано нижче

  • аксіома Робінса: \neg \left( \neg \left(a \lor b \right) \lor \neg \left(a \lor \neg b \right) \right) = a.

Приклади[ред.ред. код]

Алгебра логіки та алгебра множин є загально-відомими прикладами булевої алгебри.

Алгебра логіки (двійкова алгебра)[ред.ред. код]

Найважливішим прикладом булевої алгебри є булева алгебра з двома елементами — одиничний елемент 1 та нульовий елемент 0. Ця алгебра є фундаментом функціонування цифрових дискретних систем. Операція \lor в такій алгебрі має назву "логічного АБО" (logical OR), операція \land -- "логічного І" (logical AND), а елементам 1 та 0 ставляться у відповідність твердження "істина" (true) та "неправда" (false). Результати цих двох операцій можуть бути зведені в такі таблиці:

\lor 0 1
0 0 1
1 1 1
\land 0 1
0 0 0
1 0 1

Така двійкова алгебра відіграє ключову роль в описі цифрових схем (насамперед це стосується цифрових схем без зворотних зв'язків).

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]