Булеве кільце

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Булеве кільцекільце з одиницею, всі елементи якого є ідемпотентами. Тобто x2 = x для всіх елементів кільця.

Всі булеві кільця є комутативними кільцями характеристики 2, оскільки x + x = 0.

Доведення: 0 = (x + x)2 - (x + x)= x + x.

Зв'язок з булевою алгеброю[ред.ред. код]

Назва «булеве кільце» пояснюється тим, що кожне булеве кільце еквівалентне булевій алгебрі і навпаки:

  • Операції булевого кільця:
    a + b = (a \land {\neg}b) \lor (b \land {\neg}a)
    a b = a \land b
  • Операції булевої алгебри
    a \lor b = a + b + ab
    a \land b = a b
    \lnot a = 1 + a
  • Нуль кільця збігається з 0 булевої алгебри, нейтральний елемент множення збігається з 1 булевої алгебри.
  • Відображення однієї булевої алгебри в іншу є гомоморфізмом тоді і тільки тоді, коли коли гомоморфізмом буде відображення відповідних кілець. Тобто, категорії булевих кілець та булевих алгебр є еквівалентними.

Представлення булевих алгебр[ред.ред. код]

Кожна скінченна булева алгебра ізоморфна алгебрі всіх підмножин скінченної множини. Тому число елементів булевої алгебри завжди є ступенем 2.

Булеве кільце еквівалентне полю множин.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)