Біфуркаційна теорема Гопфа

Інші назви — теорема Гопфа, теорема Пуанкаре-Андронова-Гопфа. Теорема про умову виникнення біфуркації Гопфа. Теорема встановлена австрійським математиком Ебергардом Гопфом у 1942.

Розглянемо n-вимірну автономну систему диференціальних рівнянь

${\dot {x}}=F(x,\mu )$, (1)

що залежить від дійсного параметра $\mu$. Ми припускаємо, що (1) допускає аналітичне сімейство $x=x(\mu )$ станів рівноваги, тобто $F(x(\mu ),\mu )=0$. Без обмеження загальності можна вважати, що цим сімейством є $x\equiv 0$, тобто $F(0,\mu )=0$. Припустимо, що при деякому $\mu$, наприклад при $\mu =0$, матриця $F_{x}(0,\mu )$ має два чисто уявних власних значення $\pm i\beta$ і не існує інших власних значень $F_{x}(0,0)$, що цілочисельно кратні $i\beta$. Хай $\alpha (\mu )+i\beta (\mu )$ є продовженням по параметру власного значення $i\beta$. Припустимо, що $\alpha '(0)\neq 0$.

Теорема Гопфа. При сформульованих умовах існують неперервні функції $\mu =\mu (\epsilon )$ і $T=T(\epsilon )$, що залежать від параметра $\epsilon$, $\mu (0)=0$, $T(0)=2\pi \beta ^{-1}$ і такі, що у рівняння (1) існують періодичні розв'язки $x(t,\epsilon )$ періоду $T(\epsilon )$, що влипають у початок координат при $\epsilon \to 0$.

Джерела

• Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М. : Мир, 1980. — 368 с.
• Мозер Ю., Цендер Э. Заметки о динамических системах. — Ижевск : РХД, 2011. — 356 с.