Проєкція точки на пряму

Якщо в просторі аналітично задано:

точку $\ p(x,y,z)$ та

пряму, яка проходить через точку $\ p_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ в напрямку $\ v(v_{x},v_{y},v_{z}).$

Позначимо точкою $\ p_{\perp }$ проєкцію точки $\ p$ на задану лінію.

Координати цієї точки знаходяться за формулою:

$p_{\perp }=p_{0}\;+\;\mathrm {proj} _{v}(p-p_{0})=p_{0}+{\frac {\langle p-p_{0},v\rangle }{|v|^{2}}}v=p_{0}+{\frac {(x-x_{0})v_{x}+(y-y_{0})v_{y}+(z-z_{0})v_{z}}{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}v.$

Відстань від точки до прямої

$d=|p-p_{\perp }|={\sqrt {|p-p_{0}|^{2}-{\frac {\langle p-p_{0},v\rangle ^{2}}{|v|^{2}}}}}.$

Див. також

• Проєкція вектора

Джерела

• Погорєлов О. В. Геометрія : Стереометрія : Підруч. для 10—11 кл. серед. шк. — 6-те вид. — Київ : Освіта, 2001. — 128 с.