Точка

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Набір точок на площині

Точка — одне з основних понять геометрії. Точка є геометричним об'єктом, що має властивості тільки положення в просторі, але не має жодних інших, наприклад, таких як довжина, площа. Поняття точки використовується в геометрії, математиці, фізиці та багатьох інших галузях. У функціональному аналізі під точкою розуміють елемент будь-якого топологічного (зокрема, метричного) простору; тому в цьому розумінні точкою може бути, наприклад, функція.

Пояснення[ред. | ред. код]

Точка позначає точне положення в просторі. Важливо розуміти, що точка не є матеріальним об'єктом, це просто місце. На кресленнях точка позначається за допомогою олівця, але ця крапка, на відміну від точки, все ж таки має діаметр, тому є тільки її наближеним зображенням. Зображення ідеальної точки було б таким, що скільки б ми не зменшували область навколо неї, точка завжди представлялась нам нескінченно малого розміру. Дуже часто при кресленні точку позначають колом малого діаметра, маючи на увазі те, що сама точка знаходиться усередині кола. Точка — це пряма в поперечному розрізі.

В геометрії точки зазвичай позначаються великими літерами. В евклідовому просторі положення точки можна задати за допомогою координат.

Давньогрецький математик Евклід дав їй таке пояснення у своїй фундаментальній книзі із математики «Початки»: «Точка — це фігура, що не має ні довжини, ні ширини, ні висоти».

Критикуючи Евкліда, математики, однак, до сьогодні не можуть дати точного визначення, що таке точка, пряма, площина, множина, тому ці поняття пояснюються на інтуїтивному рівні.

Розмірність точки[ред. | ред. код]

В залежності від контексту в математиці існує декілька еквівалентних визначень вимірності. Спільним для всіх цих визначень є те, що точка 0-вимірна.

Розмірність векторного простору[ред. | ред. код]

Розмірністю векторного простору є максимальний розмір лінійно незалежної підмножини. Якщо векторний простір складається із єдиної точки (якою має бути нульовий вектор 0), лінійно незалежної підмножини не існує. Нульовий вектор не є лінійно незалежним самому собі, оскільки не існує не тривіальної лінійної комбінації, яка б зробила його нульовим: .

Топологічна розмірність[ред. | ред. код]

Топологічна розмірність топологічного простору X визначається як мінімальне значення n, таке що кожне скінченне відкрите покриття для X допускає скінченне відкрите покриття для X, яке є подрібненням в якому немає точок, які б включали більше ніж n+1 елементів. Якщо таке мінімальне n не існує, кажуть що простір має нескінченну розмірність покриття.

Точка є нульвимірною по відношенню до вимірності покриття, оскільки кожне відкрите покриття простору має подрібнення, яке складається із єдиної відкритої множини.

Геометрія без точок[ред. | ред. код]

Хоча поняття точка як правило вважається фундаментальним у звичайній відомій всім геометрії і топології, але існують деякі системи в яких відмовилися від нього, наприклад, некомутативна геометрія[en] та топологія без точок[en]. "Вільний від точок" простір визначають не як множину, а через деяку структуру (алгебраїчну або логічну[en]), яка виглядає як добре відомий функціональний простір над множиною: через алгебру неперервних функцій або алгебру множин відповідно. Більш точно, такі структури узагальнюють добре відомі простори функцій у таких спосіб, що операція "отримання значення у заданій точці" може бути невизначеною. Продовження традиції відбувається у деяких книжках Альфреда Н. Вайтгеда в яким поняттям примітиву вважається область, разом з однією із операцій включення або з'єднання.

Маса точок і дельта-функція Дірака[ред. | ред. код]

Часто у фізиці або математиці, корисно уявити точку як таку що має не нульову масу або заряд (що є особливо загальним у класичній електродинаміці, де електрони ідеалізують у вигляді точок із не нульовим зарядом). The Дельта-функція Дірака, або δ-функція, є (неформально) узагальненою функцією на осі дійсних чисел, яка дорівнює нулю усюди крім точки нуля, і інтеграл якої дорівнює одиниці по всій осі дійсних чисел.[1][2][3] Іноді дельта функцію уявляють як нескінченно високою, нескінченно тонким піком у початку координат, із одиничною загальною площею цього піку, і вона фізично представляє ідеалізовану матеріальну точку або точковий заряд.[4] Ця концепція була запропонована теоретичним фізиком Польом Діраком. В контексті теорії обробки сигналів її часто називають символом або функцією одиничного імпульсу.[5] Її дискретний аналог — дельта-функція Кронекера, як правило визначена у скінченній області і приймає значення 0 або 1.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Dirac, 1958, §15 The δ function, p. 58
  2. Gel'fand та Shilov, 1968, Volume I, §§1.1, 1.3
  3. Schwartz, 1950, с. 3
  4. Arfken та Weber, 2000, с. 84
  5. Bracewell, 1986, Chapter 5