Гіпотеза Рамануджана

Гіпотеза Рамануджана — висловлене С. Рамануджаном припущення щодо величини коефіцієнтів Фур'є $\tau (n)$ функції $\Delta$ (параболічна форми ваги 12). Функція $\Delta$ є власна функція операторів Гекке, $\tau (n)$ — відповідні власні значення.

Рамануджан припустив, що вони задовольняють нерівності:

$|\tau (p)|\leqslant 2p^{11/2},$

де $p$ — просте.

При цьому функцію $\tau (n)$ називають функцією Рамануджана.

Петерсон узагальнив гіпотезу Рамануджана на випадок власних значень операторів Гекке модулярних форм ваги $k$, де ціле $k\geqslant 2$. Це так звана гіпотеза Петерсона.

Пізніше П'єр Делінь звів гіпотезу Петерсона до гіпотези Вейля, яку згодом сам і довів у 1974 році. Відповідно, цим була доведена й гіпотеза, висунута Рамануджаном.

Література

• Ramanujan S. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 1916. — v. 22.
• Делинь П. Успехи математических наук. — 1975. — т. 30. — в. 5. — с. 159—190.
• Фоменко, О. М. Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. — М. : ВИНИТИ, 1977. — Т. 15. — С. 5—91.