Гіпотези Вейля

Гіпотези Вейля - математичні гіпотези про локальні дзета-функції проєктивних многовидів над скінченними полями.

Гіпотези Вейля стверджують, що локальні дзета-функції мають бути раціональними, задовольняти функціональному рівнянню, а їх нулі лежати на критичних прямих. Останні 2 гіпотези аналогічні гіпотезі Рімана для дзета-функції Рімана.

Гіпотези в загальному вигляді сформулював Андре Вейль 1949 року, раціональність довів Бернард Дворк 1960 року, функціональне рівняння — Олександр Гротендік 1965 року, аналог гіпотези Рімана — П'єр Делінь 1974 року.

Формулювання гіпотез Вейля

Нехай $X$ — неособливий $n$-вимірний проєктивний алгебричний многовид над скінченним полем $\mathbb {F} _{q}$. Його конгруенц-дзета-функція визначається як

$Z(X,\;T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k}\right),$

де $N_{k}$ — число точок $X$ над $k$-вимірним розширенням $\mathbb {F} _{q^{k}}$ поля $\mathbb {F} _{q}$. Локальна дзета-функція $\zeta (X,\;s)=Z(X,\;q^{-s})$.

Гіпотези Вейля стверджують таке:

1. (Раціональність) $Z(X,\;T)$ є раціональною функцією $T$. Точніше, $Z(X,\;T)$ можна подати у вигляді скінченного добутку

$Z(X,T)=\prod \limits _{i=0}^{2n}P_{i}(T)^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)\cdot \ldots \cdot P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)\cdot \ldots \cdot P_{2n}(T)}},$

де кожен $P_{i}(T)$ — многочлен з цілими коефіцієнтами. Причому $P_{0}(T)=1-T,\;P_{2n}(T)=1-q^{n}T$, а для всіх $i\colon 1\leqslant i\leqslant 2n-1$ $P_{i}(T)=\prod \limits _{j}(1-\alpha _{ij}T)$ над $\mathbb {C}$, а $\alpha _{ij}$ — деякі цілі алгебричні числа.

2. (Функціональне рівняння і двоїстість Пуанкаре) Дзета-функція задовольняє співвідношенню

$\zeta (X,\;n-s)=\pm q^{{\frac {nE}{2}}-Es}\zeta (X,\;s)$

або, еквівалентно,

$Z\left(X,\;{\frac {1}{q^{n}T}}\right)=\pm q^{nE/2}T^{E}Z(X,\;T),$

де $E$ — ейлерова характеристика $X$ (індекс самоперетину діагоналі $\Delta (X)$ в $X\times X$).

3. (Гіпотеза Рімана) для всіх $i,\;j$ $|\alpha _{i}|=q^{i/2}$. Звідси випливає, що всі нулі $P_{k}(q^{-s})$ лежать на «критичній прямій» $\operatorname {Re} s=k/2$.

4. (Числа Бетті) Якщо $X$ є хорошою редукцією за модулем $p$ неособливого проєктивного многовиду $Y$, визначеного над деяким числовим полем, вкладеним у поле комплексних чисел, то степінь $\deg P_{i}=\beta _{i}(Y)$, де $\beta _{i}$ — число Бетті простору комплексних точок $Y$.

Література

• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М. : Мир, 1981. — 597 с.