Двовимірні многовиди

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Двовимірні багатовиди мають деяку специфіку в порівнянні з багатовидами вищих розмірностей.

Одновимірність тензора Рімана[ред.ред. код]

Оскільки в двовимірному випадку антисиметрична пара індексів може тільки одну (з точністю до знаку) комбінацію , то тензор Рімана з двома антисиметричними парами індексів має лише одну ненульову компоненту:

легко перевірити, що алгебраїчна та диференціальна тотожності Біанкі не накладають на цю компненту ніяких обмежень. Дійсно, алгебраїчна тотожність з циклічною перестановкою перших трьох індексів:

задовольняється, оскільки другий протилежний першому (внаслідок антисиметрії по першій парі індексів), а третій доданок дорівнює нулю. Те саме зауваження стосується і диференціальної тотожності Біанкі:

В цій формулі друга пара індексів теж дорівнює , але ми таку підстановку навмисне не зробили, щоб підкреслити, що ця пара індексів не бере участі в циклічній перестановці.

Оскільки наведені вище міркування стосуються також тензора метричної матрьошки:

То тензор Рімана будь-якого двовимірного багатовида виявляється пропорційним тензору метричної матрьошки:

Цікаво, що у вищих розмірностях формула (5) може бути справедливою лише для просторів постійної кривини. Дійсно, нехай буквою позначено розмірність багатовида. Тоді послідовними згортками із формули (5) знаходимо тензор Річчі і скалярну кривину:

Ці два вирази ми можемо підставити в згорнуту диференціальну тотжність Біанкі:

При перші два множника в формулі (8b) ненульові, а тому:

тобто коефіцієнт однаковий для всього багатовида з розмірністю більшою двох.

Для двовимірних багатовидів () формула (8b) перетворюється на тотожний нуль, тому коефіцієнт може змінюватися. Із формули (7) знаходимо, що дорівнює Ґаусовій кривині другого степеня:

Маємо такі формули для двовимірного багатовида:

Ізотермічні координати[ред.ред. код]

В вудь-якому двовимірному багатовиді можна вибрати (локально звичайно з огляду на топологію, в околі будь-якої точки) таку систему координат, що метричний тензор буде пропорційним одиничній матриці:

Такі координати називаються ізотермічними. Квадрат елемента відстані дорівнює:

Теорема Ґауса — Бонне[ред.ред. код]

Для будь-якого гладкого замкнутого контура на двовимірному багатовиді і обмеженої цим контуром області справедлива наступна формула:

де перший інтеграл береться від геодезичної кривини контура , другий інтеграл береться від Ґаусової кривини, а є цілим числом - характеристикою Ейлера для області . Докладніше ця теорема описана в статті Теорема Ґауса-Бонне.