Двовимірні багатовиди мають деяку специфіку в порівнянні з багатовидами вищих розмірностей.
Оскільки в двовимірному випадку антисиметрична пара індексів
може тільки одну (з точністю до знаку) комбінацію
, то тензор Рімана
з двома антисиметричними парами індексів має лише одну ненульову компоненту:
![{\displaystyle (1)\qquad R_{1212}=-R_{2112}=R_{2121}=-R_{1221}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/717344828a881618492dc75c761e0d05c97fb631)
легко перевірити, що алгебраїчна та диференціальна
тотожності Біанкі не накладають на цю компненту ніяких обмежень. Дійсно, алгебраїчна тотожність з циклічною перестановкою
перших трьох індексів:
![{\displaystyle (2)\qquad R_{1212}+R_{2112}+R_{1112}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7cc6c5315220e9917adc1a7d738cf67d507d3ce)
задовольняється, оскільки другий протилежний першому (внаслідок антисиметрії
по першій парі індексів), а третій доданок дорівнює нулю. Те саме зауваження стосується і диференціальної тотожності Біанкі:
![{\displaystyle (3)\qquad \nabla _{1}R_{12ps}+\nabla _{1}R_{21ps}+\nabla _{2}R_{11ps}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2aa975a01f93680ea04670a3bc78ab6c33d0a3a)
В цій формулі друга пара індексів
теж дорівнює
, але ми таку підстановку навмисне не зробили,
щоб підкреслити, що ця пара індексів не бере участі в циклічній перестановці.
Оскільки наведені вище міркування стосуються також тензора метричної матрьошки:
![{\displaystyle (4)\qquad g_{ijkl}={\begin{vmatrix}g_{ik}&g_{il}\\g_{jk}&g_{jl}\end{vmatrix}}=g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cfb6f26c6db08561c52066ec7102496dccd0183)
То тензор Рімана будь-якого двовимірного багатовида виявляється пропорційним тензору метричної матрьошки:
![{\displaystyle (5)\qquad R_{ijkl}=\lambda \,g_{ij,kl}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d30da45b80f467c57e3cb3b598351154c3bb1756)
Цікаво, що у вищих розмірностях формула (5) може бути справедливою лише для просторів постійної кривини. Дійсно, нехай буквою
позначено розмірність багатовида. Тоді послідовними згортками із формули (5) знаходимо тензор Річчі і скалярну кривину:
![{\displaystyle (6)\qquad R_{ik}=\lambda \,g^{jl}(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})=(n-1)\lambda \,g_{ik}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/652bf8300e3a86591d6fed7afd069180f9348a8e)
![{\displaystyle (7)\qquad R=g^{ij}R_{ij}=n(n-1)\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4323655db8396ee6b90c8ed9378d2603bbe361)
Ці два вирази ми можемо підставити в згорнуту диференціальну тотжність Біанкі:
![{\displaystyle (8)\qquad 2\nabla ^{j}R_{ij}=\nabla _{i}R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/604a521df988110b708fb8ff58066d44389d27e1)
![{\displaystyle (8a)\qquad 2(n-1)\nabla _{i}\lambda =n(n-1)\nabla _{i}\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c2845948da48c908b661a25819107208ba2f36)
![{\displaystyle (8b)\qquad (n-2)(n-1)\nabla _{i}\lambda =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a719ebcf155396d56a628fa7de5a347d3c042e1e)
При
перші два множника в формулі (8b) ненульові, а тому:
![{\displaystyle (9)\qquad \nabla _{i}\lambda ={\partial \lambda \over \partial u^{i}}=0;\qquad \lambda ={\mbox{const}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d95e50b5f618a5e3531959841978cae3b628a8a)
тобто коефіцієнт
однаковий для всього багатовида з розмірністю більшою двох.
Для двовимірних багатовидів (
) формула (8b) перетворюється на тотожний нуль, тому коефіцієнт
може змінюватися. Із формули (7) знаходимо, що
дорівнює
Ґаусовій кривині другого степеня:
![{\displaystyle (10)\qquad \lambda ={R \over n(n-1)}={R \over 2}=K^{[2]}=K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1847da52047c8ec7f26135f9c413e77a6f2bc03f)
Маємо такі формули для двовимірного багатовида:
![{\displaystyle (11)\qquad R_{ijkl}=K\,g_{ij,kl}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f30dd5a62ba68fc219ba294813bf68ac29773f1)
![{\displaystyle (12)\qquad R_{ij}=K\,g_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d28fea286fa6bc9c3942e2ae09b45d0c1b532173)
![{\displaystyle (13)\qquad R=2K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d97626587ebbe03f8a18a62be005edd1e82c44)
В вудь-якому двовимірному багатовиді можна вибрати (локально звичайно з огляду на топологію, в околі будь-якої точки) таку
систему координат, що метричний тензор
буде пропорційним одиничній матриці:
![{\displaystyle (14)\qquad g_{ij}=a\delta _{ij}={\begin{bmatrix}a&0\\0&a\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd2b972efd7a291024a4b66d3a2f0f7548d4eb9f)
Такі координати називаються ізотермічними. Квадрат елемента відстані дорівнює:
![{\displaystyle (15)\qquad ds^{2}=a((u^{1})^{2}+(u^{2})^{2}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc78414fbc3624b22d1d5c8fcbc054a9e3312904)
Для будь-якого гладкого замкнутого контуру
на двовимірному багатовиді і обмеженої цим контуром області
справедлива наступна формула:
![{\displaystyle (16)\qquad \oint _{L}k_{g}dl+\int _{\Omega }Kds=2\pi \chi (\Omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a17a388d5b1c79d4f6ed593d20cffb54c6aaad)
де перший інтеграл береться від геодезичної кривини контуру
, другий інтеграл береться від Ґаусової кривини,
а
є цілим числом - характеристикою Ейлера для області
.
Докладніше ця теорема описана в статті Теорема Ґауса-Бонне.