Диференціальне рівняння параболічного типу

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Диференціа́льне рівня́ння параболі́чного ти́пу — один із трьох можливих випадків диференціального рівняння другого порядку в частинних похідних з двома змінними, що в математичній фізиці використовується для опису процесів розпливання, дифузії, теплопровідності.

Якщо диференціальне рівняння другого порядку в частинних похідних в загальній формі

a_{11} \frac{\delta^2 u}{\delta x^2}+ 2 a_{12}\frac{\delta^2 u}{\delta x \delta y} + a_{22} \frac{\delta^2 u}{\delta y^2} + F_0\left(x,y,u,\frac{\delta u}{\delta x},\frac{\delta u}{\delta y} \right) = 0 \ \ (1)

параболічне, то

D=a_{12}^2 - a_{11}a_{22} = 0.

Тоді воно має канонічну форму:

\frac{\delta^2 u}{\delta \eta^2} + F_4\left( \xi,\eta,\frac{\delta u}{\delta \xi},\frac{\delta u}{\delta \eta} \right) = 0

Диференціальні рівняння характеристик збігаються, й існує один загальний інтеграл \varphi(x,y) = C. Як наслідок \xi = \varphi (x, y), \eta=\psi(x,y), де \psi - двічі неперервно-диференційована функція, яка не перетворює в нуль коефіцієнти при \frac{\delta^2 u}{\delta \eta^2}.

Найпростішим видом параболічного рівняння є рівняння теплопровідності:

 \frac{\partial u}{\partial t} =  \frac{ \partial^2 u}{\partial x^2} .

Дивіться також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]