Електромагнітний потенціал

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Електромагнітний 4-потенціал — це контраваріантний 4-вектор, часовою компонентою якого є скалярний потенціал , а просторовою - векторний потенціал (всі формули на цій сторінці дані у системі СГС). Таким чином,

.

Введення компонент 4-потенціалу і отримання рівнянь на них[ред.ред. код]

Рівняння Максвелла

можна тотожньо задовольнити, якщо ввести векторний потенціал як

.

Підставивши цей вираз для у рівняння для ротора напруженості електричного поля, можна отримати

,

де введений скалярний потенціал . Тепер можна переписати вираз для сили, що діє на заряд, що рухається, у електромагнітному полі, за допомогою виразів, отриманих для потенціалів:

.

Використовуючи, знову ж таки, векторний потенціал і , можна переписати також рівняння для ротора індукції магнітного поля і для дивергенції напруженості електричного поля:

,

.

Якщо задовольнити умову

(умова калібрування Лоренца), то вирази набудуть більш простого вигляду:

.

Такі рівняння називаються рівняннями д'Аламбера.

Компоненти потенціалу як єдиний 4-вектор[ред.ред. код]

Ідентичність двох рівнянь з дозволяє припустити, що і в лівій, і в правій частині знаходяться компоненти двох 4-векторів: . Тоді рівняння можуть бути записані як одне:

,

причому перетворення Лоренца для компонент можуть бути записані як

.

Для доведення цього достатньо показати, що векторний і скалярний потенціали перетворюються як компоненти 4-вектора.

Розв'язок рівнянь д'Аламбера для компонент потенціалу[ред.ред. код]

Отримані рівняння д'Аламбера можна розв'язати із наступних міркувань.

Загальний розв'язок рівнянь Пуассона для дається інтегралами

.

У неоднорідному нестаціонарному випадку густина заряду і струму увесь час змінюється, причому інформація про це досягає спостерігача лише за час . Оскільки, окрім того, у рівнянні д'Аламбера присутня похідна по часу, то природньо, що розв'язок цього рівняння для скалярного потенціалу і для кожної компоненти векторного потенціалу залежить не тільки від , а й від , що виражає час запізнення: . Тоді можна допустити, що розв'язком рівняння д'Аламбера є той же інтеграл Пуассона, проте тепер густина є функцією і від часу. Наприклад, для :

,

де - функція, що задовільняє хвильовому рівнянню.

Див. також[ред.ред. код]