Потенціа́ли Ліена́ра — Ві́херта — вирази для потенціалів електромагнітного поля заряду, що рухається відомою траєкторією. Названі на честь Альфред-Марі Ліенара та Еміля Віхерта.
При зміні положення заряду збурення електромагтіних полів згідно з принципом причинності досягає точки спостереження тільки через певний відрізок часу. В момент часу t спостерігач відчуватиме положення заряду в момент часу . — це проміжок часу, необхідний для того, щоб електромагнітне поле подолало віддаль між зарядами.
- ,
де — віддаль між спостерігачем і зарядом у момент часу , c — швидкість світла в порожнечі.
Якби заряд не рухався, то навколо нього створювалося б лише електричне поле згідно із законом Кулона. Навколо рухомого заряду створюється електричне й магнітне поле. Потенціали цих полів визначаються формулами [1]
де — потенціал електичного поля, — векторний потенціал, — швидкість зарядженої частинки, q — її заряд. Усі вирази в правих частинах повинні братися в момен часу .
Ці вирази для потенціалів називаються потенціалами Ліенара-Віхерта. У випадку нерухомого заряду електричний потенціал збігається з кулонівським, магнітний — дорівнює нулю.
Рівняння Максвелла, в силу відповідного постулату, не залежать від прискорення заряда. Окрім цього, вирази для векторного і скалярного потенціалів, отримані у минулому розділі, також від прискорення не залежать. Проте вирази для векторів-характеристик поля від прискорення залежать. Інтегральні вирази для потенціалів (розв'язки рівняння д'Аламбера) враховують прискорення заряда через "запізнення" розповсюдження взаємодії. Дійсно, із загальних інтегралів для потенціалів можна отримати:
,
де .
Доведення.
Нехай, наприклад, розглядається інтеграл для :
.
Використовуючи властивість дельта-функції від складного аргументу (доведення диф. у розділі "Додаткові матеріали"),
,
де - розв'язок рівняння , можна, користуючись
,
отримати:
.
Отже, сам інтеграл набуде вигляду
.
Зовсім аналогічно - і в випадку з виразом для векторного потенціалу:
.
Отримані вирази для потенціалів можуть бути використані для отримання виразу для напруженості електричного поля та індукції магнітного поля у випадку заряду, що довільно рухається.
Для напруженості електричного поля й вектора магнітної індукції
потенціали Ліенара-Віхерта дають
Особливістю виразів для полів є те, що вони залежать не лише від швидкості частинки, а й від її прискорення. Та частина, що залежить від прискорення відповідає за випромінювання електромагнітних хвиль. Іншою особливістю є те, що електричне й магнітне поле завжди перпендикулярні одне до іншого.
Для подальших викладок знадобиться вираз
.
Доведення.
.
Вираз для напруженості поля можна отримати безпосередньо за допомогою явних виразів для потенціалів Лієнара-Віхерта. Як відомо, вираз для напруженості електричного поля через компоненти 4-потенціалу рівний
.
Проте перед тим, як безпосередньо визначити вираз для напруженості поля, потрібно перейти від змінних до змінної , оскільки самі потенціали (а точніше - ) залежать від :
.
Доведення.
.
Далі - треба здійснити перехід від змінної до двох змінних . Враховуючи, що
,
можна записати:
.
Звідси очевидно, що
.
Тоді для напруженості поля можна отримати
,
або, з урахуванням виразу і введеного вектора ,
.
Вираз для індукції поля можна отримати безпосередньо з інтегральних виразів для запізнювальних потенціалів, що, можливо (!), значно спростить викладки.
При введенні фіктивного інтегрування по змінній (див. попередній підрозділ) векторний потенціал має вигляд
.
Тоді для можна отримати
,
або, з урахуванням виразу ,
.
Доведення.
.
Виходячи з виразу для інтегралу від виразу з дельта-функцією від складного аргументу,
,
інтеграл від першого доданку рівний, при введенні вектора ,
(надалі перехід від залежності від до інтегрування до залежності від після інтегрування буде вважатися очевидним).
Для визначення виразу для другого доданку треба переписати градієнт від дельта-функції: для
він рівен
.
Тому інтеграл від другого доданку за допомогою інтегрування по частинам можна записати як
.
Для початку, можна звести всі підінтегральні доданки, у яких фігурує прискорення :
.
Можна показати, що чисельник цього виразу, з мінусом, відповідає векторному добутку .
Дійсно,
.
Інтеграл від цього виразу (із використанням властивості інтегралу від дельта-функції складного аргументу та врахуванням знаку мінус перед інтегралом) буде рівен
.
Інтеграл від тих доданків, що залишилися, рівен
Згрупувавши цей вираз із найпершим доданком, можна отримати
.
Остаточно, індукція поля рівна
.
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. (1974). Теоретическая физика. т. ІІ. Теория поля. Москва: Наука. (рос.)
- ↑ Формули на цій сторінці записані в системі СГС (СГСГ). Для перетворення в Міжнародну систему величин (ISQ) дивись Правила переводу формул із системи СГС в систему ISQ.