Категорія 𝒪

Категорія ${\mathcal {O}}$ — математичний об'єкт у теорії представлень напівпростих алгебр Лі. Це категорія, чиї об'єкти — визначені представлення напівростої алгебри Лі, а морфізми — гомоморфізми представлень.

Вступ

Нехай ${\mathfrak {g}}$ — (зазвичай комплексна) напівпроста алгебра Лі з підалгеброю Картана ${\mathfrak {h}}$, а $\Phi$ — система коренів і $\Phi ^{+}$ — система додатних коренів. Позначимо ${\mathfrak {g}}_{\alpha }$ простір коренів, що відповідає кореню $\alpha \in \Phi$ і ${\mathfrak {n}}:=\oplus _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }$ — нільпотентна підалгебра.

Якщо $M$ — ${\mathfrak {g}}$-модуль і $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$, то $M_{\lambda }$ є простором ваг

$M_{\lambda }=\{v\in M;\,\,\forall \,h\in {\mathfrak {h}}\,\,h\cdot v=\lambda (h)v\}.$

Означення катеорії ${\mathcal {O}}$

Об'єкти категорії ${\mathcal {O}}$ — ${\mathfrak {g}}$-модулі $M$, такі що

1. $M$ — скінченнопороджений
2. $M=\oplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}M_{\lambda }$
3. $M$ локально ${\mathfrak {n}}$-скінченний, тобто, для кожного $v\in M$, ${\mathfrak {n}}$-модуль породжений $v$ — скінченновимірний.

Морфізми цієї категорії — ${\mathfrak {g}}$-гомоморфізми цих модулів.

Література

• Humphreys, James E. (2008), Representations of semisimple Lie algebras in the BGG category O (PDF), AMS, ISBN 978-0-8218-4678-0, архів оригіналу (PDF) за 21 березня 2012, процитовано 23 вересня 2018 {{citation}}: Cite має пустий невідомий параметр: |df= (довідка)