Метод простої ітерації

Метод простої ітерації — метод обчислення нерухомої точки функції, зокрема для наближеного розв'язування інтегральних лінійних рівнянь.

Це рекурсивний алгоритм, що реалізує в деякому топологічному просторі $V$ послідовність відображень $A_{k}:V\rightarrow V$, з допомогою яких, за початковою точкою $u^{0}\in V$ вичисляють послідовність точок $u^{k}\in V$ згідно формул:

$u^{k+1}=A_{k}u^{k},\qquad k=0,1,...$

Ця операція називається ітерація, а послідовність $u^{k}$ називається ітераційна послідовність. Такі методи (що ще називаються методами послідовних наближень) можуть використовуватись для находження розв'язків операторного рівняння

$Au=f,$

чи мінімуму деякого функціонала, чи власних значень і елементів рівняння $Au=\lambda u$, а також для доведення існування розв'язків цих задач. Ітераційний алгоритм називається збіжним, якщо $u^{k}\rightarrow u$ при $k\rightarrow \infty$. Оператори $A_{k}$ для рівняння наведеного вище (в лінійному метричному просторі $V$) будують наступним чином

$A_{k}u^{k}=u_{k}-H_{k}(Au^{k}-f)$

де $H_{k}:V\rightarrow V$ — деяка послідовність операторів, що визначає тип ітераційоного алгоритму.

В основі методу лежить принцип стискуючих відображень і його узагальнення, або варіаційні методи мінімізації деякого пов'язаного із завданням функціонала.

Приклад застосування

Ілюстрація методу

Цей метод застосовується до функцій виду $x=\varphi (x)$.

Щоб від функції f(x)=0 перейти до нашої можна подати $\varphi (x)$ у вигляді: $\varphi (x)=x+\psi (x)f(x)$, де $\psi$ — будь-яка знакостала, неперервна функція (наприклад $\psi (x)=1$ щоправда тоді це буде метод релаксації ).

Але функція $\psi (x)$ вибирається не просто так, а щоб $\varphi (x)$ задовольняла умові:

$\max _{x\in [a,b]}|\varphi '(x)|<1$

Алгоритм

Беремо будь-яке $x_{0}$, і виконуємо ітерацію: $x_{k+1}=\varphi (x_{k})$.

Див. також

• Ітераційні методи розв'язування СЛАР
• Ітераційні методи

Джерела

• Гаврилюк І.П., Макаров В.Л. Методи обчислень. Частина 1. — К. : Вища школа, 1995. — 367 с. — ISBN 5-11-004111-2.(укр.)
• М. Я. Лященко, М. С. Головань. Чисельні методи: Підручник. — К.: : Либідь, 1996. — 288 с.(укр.)
• Цегелик Г. Г. Чисельні методи. — Львів : ЛНУ, 2004. — 407 с.(укр.)
• Енциклопедія кібернетики : у 2 т. / за ред. В. М. Глушкова. — Київ : Гол. ред. Української радянської енциклопедії, 1973.