Нерівність Бернуллі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нерівність Бернуллі стверджує: якщо , то

для всіх

Однак, узагальнена нерівність Бернуллі стверджую наступне:

  • якщо , то
  • якщо , то
  • при цьому рівність досягається в двох випадках:

Доведення[ред.ред. код]

Доведення проводиться методом математичної індукції по n. При n = 0 нерівність, очевидно, вірна. Припустимо, що вона вірна для n, доведемо це вірно для n+1:

.

Проте наведене доведення не розповсюджується на інші . Доведення узагальненої нерівності Бернуллі наведено нище.
Розглянемо , причому .
Похідна при , оскільки .
Функція двічі дифференціюєма в проколотому околі точки . Тому . Отримуємо:

  • при
  • при

Значення функції , відповідно, справедливі наступні тверждення:

  • якщо , то
  • якщо , то

Неважко помітити, що за відповідних значень або функція . При цьому в кінцевій нерівності зникають обмеження на , що були задані на початку доведення, оскільки для них виконується рівність. ■ — Q.E.D.

Зауваження[ред.ред. код]

  • Нерівність також справедлива для (при ), але вказане вище доведення методом математичної індукції у випадку не працює.

Назва[ред.ред. код]

Нерівність названа на честь швейцарського математика Якоба Бернуллі