Нерівність Шапіро

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Нерівність Шапіро запропонована Г. Шапіро 1954 року.

Заява про нерівність[ред. | ред. код]

Нехай n — натуральне число, а  — додатні числа, такі що:

  • n парне і , або
  • n непарне і .

Тоді Нерівність Шапіро стверджує, що

де .

Для більших значень n нерівність не має[уточнити] і сувора нижня межа дорівнює , де .

Початкові доведення нерівності в основних випадках (Годунова та Левін, 1976) та (Troesch, 1989) покладаються на чисельні розрахунки. 2002 року PJ Bushell та JB McLeod опублікували аналітичні доведення для .

Значення γ було визначено 1971 року Володимиром Дрінфельдом, який виграв Медаль Філдса 1990 року. Окремо Дрінфельд показав, що сувора нижня межа γ задана , де ψ — функція опуклої оболонки і (Тобто область над графіком ψ є опуклою оболонкою об'єднання областей над графіками f і g).

Внутрішні локальні міміми лівої частини завжди (Nowosad, 1968).

Контрприклади для більших n[ред. | ред. код]

Перший контрприклад був знайдений Lighthill 1956 року для :

, де близька до 0.

Тоді ліва частина дорівнює , тобто , коли достатньо мале.

Наступним контрприклад для навів Троуш (1985):

= (0, 42, 2, 42, 4, 41, 5, 39, 4, 38, 2, 38, 0, 40) (Troesch, 1985)

Література[ред. | ред. код]

  • Fink, A.M. (1998). Shapiro's inequality. У Gradimir V. Milovanović, G. V. Recent progress in inequalities. Dedicated to Prof. Dragoslav S. Mitrinović. Mathematics and its Applications (Dordrecht) 430. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. с. 241–248. ISBN 0-7923-4845-1. Zbl 0895.26001. 
  • Bushell, P.J.; McLeod, J.B. (2002). Shapiro's cyclic inequality for even n. J. Inequal. Appl. 7 (3): 331–348. ISSN 1029-242X. Zbl 1018.26010.  They give an analytic proof of the formula for even n ≤ 12, from which the result for all n ≤ 12 follows. They state n = 23 as an open problem.

Посилання[ред. | ред. код]