Перегляд вихідного коду сторінки Поліноми Ерміта

{{Ортогональні поліноми
|Назва      = Ерміта
|відкривач  = [[Ерміт Шарль|Шарлем Ермітом]] в [[1864]] році
|формула    = <math>H_n(x)=(-1)^n e^{\frac{x^2}{2}}\frac{d^n}{dx^n}\left ( e^{-\frac{x^2}{2}}\right )</math>|
дифрівняння = <math>\ y''(x)-xy'(x)+ny(x)=0</math>|
інтервал    = <math>\ [-\infty,+\infty]</math>|
вага        = <math>e^{-x^2/2}\,\!</math>|
норма       = <math>\sqrt{n!\sqrt{2\pi}}</math>|
примітки    = В фізиці часто використовуються поліноми Ерміта, визначені як<br />
<math>H^*_n(x)=(-1)^n e^{{x^2}}\frac{d^n}{dx^n}\left ( e^{-{x^2}}\right )</math>
<br /><math>H^*_n(x)=2^{\frac{n}{2}}H_n(\sqrt{2}x)</math>
}}
'''Поліноми Ерміта''' ({{lang-en|'''Hermite polynomials'''}})&nbsp;— [[ортогональні поліноми]], що використовуються в [[Теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]], [[математична фізика|математичній фізиці]] при розв'язку [[рівняння дифузії]], [[Чисельні методи|чисельному аналізі]] та [[Квантова механіка|квантовій механіці]] (як власні функції [[Квантовий осцилятор|квантового гармонічного осцилятора]]). Названі на честь французького математика [[Шарль Ерміт|Шарля Ерміта]], який ввів<ref>
{{Цитата:Стаття
 | last = Hermite
 | first = C.
 | authorlink = 
 | coauthors = 
 | year = 1864
 | month = 
 | title = Sur un nouveau développement en série de fonctions.
 | journal = Compt. Rend. Acad. Sci. Paris 
 | volume = 58
 | issue = 
 | pages = 93-100; 266-273
 | doi =
 | id = 
 | url =
 | format = 
 | accessdate = 
 | quotes = 
 }}, передруковано також в {{cite book
|ім'я=
|прізвище=
|автор= C. Hermite
|авторлінк=
|співавтори=
|дата=
|рік=1908
|місяць=
|назва= Oeuvres complètes
 |розділ= |url-розділу=|редактор=
| url=
|формат=
|інші=tome 2
|видання=
|мова= французька 
|сторінки=293-308
|видавництво=
| розміщення=Paris
|isbn=
|посилання=
}}
</ref> їх в [[1864]] році.

== Визначення ==
[[Файл:Hermite poly.svg|thumb|right|400px|Графіки поліномів Ерміта порядку <math>n=0,1,...,5</math>]]
Поліномами Ерміта називається послідовність [[поліном]]ів <math>H_n(x)</math>,<math>n=0,1,...</math>, що задовольняють співвідношенню:<br />
<math>e^{tx-\frac{t^2}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} H_n(x)\frac{t^n}{n!}</math>,<br />
з якого випливає<br />
<math>H_n(x)=(-1)^n e^{\frac{x^2}{2}}\frac{d^n}{dx^n}\left ( e^{-\frac{x^2}{2}}\right )</math>.<br />
Таке означення здебільшого використовується в [[Теорія ймовірності|теорії ймовірностей]]. У фізиці (здебільшого в [[квантова механіка|квантовій механіці]]) використовують наступне означення:<br />
<math>H^*_n(x)=(-1)^n e^{{x^2}}\frac{d^n}{dx^n}\left ( e^{-{x^2}}\right )</math>.<br />
Зв'язок між '''«фізичними»''' та '''«ймовірнісними»''' поліномами Ерміта здійснюється через наступне рівняння:

<math>H^*_n(x)=2^{\frac{n}{2}}H_n(\sqrt{2}x)</math>.<br />
В цій статті будуть використовуватися «ймовірнісні» поліноми (якщо не зазначено інше).

Явні вирази перших одинадцяти поліномів Ерміта мають такий вигляд:

: <math>H_0(x)=1\,</math>
: <math>H_1(x)=x\,</math>
: <math>H_2(x)=x^2-1\,</math>
: <math>H_3(x)=x^3-3x\,</math>
: <math>H_4(x)=x^4-6x^2+3\,</math>
: <math>H_5(x)=x^5-10x^3+15x\,</math>
: <math>H_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15\,</math>
: <math>H_7(x)=x^7-21x^5+105x^3-105x\,</math>
: <math>H_8(x)=x^8-28x^6+210x^4-420x^2+105\,</math>
: <math>H_9(x)=x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x\,</math>
: <math>H_{10}(x)=x^{10}-45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945\,</math>

Загальний вираз для поліномів Ерміта має вигляд
<math>
H_n(x)=\sum_{j=0}^{[n/2]}\frac{(-1)^j}{2^j} \frac{n!}{j!(n-2j)!}x^{n-2j}=x^n-\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}+\frac{1}{4}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}x^{n-4}-\ldots,
</math>

== Властивості ==
Поліном <math>H_n(x)</math> містить члени лише тієї ж парності, що й саме число <math>n</math>:

<math>H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),~~H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),~~~ n=0,1,2, \ldots </math>.

При <math>x=0</math> мають місце такі співвідношення:

<math>H_{2n}(0)=\frac{(-1)^n}{2^n}\frac{(2n)!}{n!}, ~~ H_{2n+1}=0, ~~~ n=0,1,2, \ldots</math>.

Рівняння <math>H_n(x)=0</math> має <math>n</math> дійсних коренів, що є попарно симетричними відносно початку системи координат і модуль жодного з них не перевищує величини <math>\sqrt{n(n-1)/2}</math>. [[Корінь рівняння|Корені]] полінома <math>H_n(x)=0</math> чергуються з коренями полінома <math>H_{n+1}(x)=0</math>.

Поліном <math>H_n(x)</math> можна представити у вигляді [[визначник]]а матриці <math>n \times n</math>:

<math>
H_n(x)=\left |\begin{array}{cccccc}
x &  n-1  &  0   &  0  & \cdots  &  0 \\
1 &   x   & n-2  & 0 & \cdots  & 0 \\
0 &   1   &  x   & n-3 & \cdots  & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & x
\end{array}\right | 
</math>

=== Формула додавання ===
Має місце наступна формула додавання поліномів Ерміта:

: <math>
\frac{(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)^{\frac{\mu}{2}}}{\mu!}H_{\mu} \left [ \frac{a_1 x_1+a_2 x_2+\cdots a_nx_n}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}}\right ]= \sum_{m_1+\cdots+m_n=\mu}\frac{a_1^{m_1}}{m_1!}\cdots \frac{a_n^{m_n}}{m_n!} H_{m_1}(x_1)\cdots H_{m_n}(x_n)~.
</math>

Частковими випадками такої формули є такі:

* <math>a_1=a_2=\cdots =a_n=1</math>, <math>x_1=x_2=\cdots =x_n</math>. Тоді

: <math> n^{\frac{\mu}{2}}H_{\mu}(\sqrt{n}x)=\sum_{m_1+\cdots+m_n=\mu}\frac{\mu!}{m_1!\cdots m_n!}H_{m_1}(x)\cdots H_{m_n}(x)</math>.

* <math>n=2</math>, <math>a_1=a_2=1</math>, <math>x_1=\sqrt{2}x,~x_2=\sqrt{2} y</math>. Тоді

: <math>
2^\mu H_{\mu}(x+y)=\sum_{p+q+r+s=\mu}\frac{\mu!}{p!~q!~r!~s!}H_p(x)H_q(x)H_r(x)H_s(x)
</math>.

== Диференціювання та рекурентні співвідношення ==
[[Похідна]] <math>k</math>-го порядку від полінома Ерміта <math>H_n(x)</math>, <math>n\ge k</math> також є поліномом Ерміта:<br />
<math>
\frac{d^k}{dx^k}H_n(x)=n(n-1)\cdots (n-k+1)H_{n-k}(x)~,
</math><br />
звідки випливає співвідошення для першої похідної<br />
<math>H'_n(x)=\frac{dH_n(x)}{dx}=nH_{n-1}(x)</math>
<br />
та [[рекурентне співвідношення]] між трьома послідовними поліномами:

<math>
H_n(x)-xH_{n-1}(x)+(n-1)H_{n-2}(x)=0~,~~ n \ge 2
</math>

== Ортогональність ==
Поліноми Ерміта утворюють повну [[ортогональність|ортогональну]] систему на інтервалі <math>]-\infty,+\infty[</math> з [[вагова функція|вагою]] <math>e^{-x^2/2}\,\!</math>:<br />
: <math>\int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2/2}\,dx=n!\sqrt{2\pi}~\delta_{\mathit{nm}}</math>,

де <math>\delta_{mn}</math>&nbsp;— [[Символ Кронекера|дельта-символ Кронекера]].
<!-- They form an orthogonal basis of the [[Hilbert space]] of functions satisfying

:<math>\int_{-\infty}^\infty\left|f(x)\right|^2\,e^{-x^2/2}\,dx<\infty,</math>

in which the inner product is given by the integral including a [[gaussian function]]

:<math>\langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\,e^{-x^2/2}\,dx.</math>-->

Важливим наслідком ортогональності поліномів Ерміта є можливість розкладу різних функцій в [[ряд]]и по поліномах Ерміта.
Для будь-якого невід'ємного цілого <math>p</math> справедливий запис

<math>
\frac{x^p}{p!}=\sum_{k=0}^{k\le p/2}\frac{1}{2^k}\frac{1}{k!(p-2k)!}H_{p-2k}(x).
</math>

З нього випливає зв'язок між коефіцієнтами розкладу функції в [[ряд Тейлора|ряд Маклорена]] <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math> та
коефіцієнтами розкладу цієї ж функції по поліномах Ерміта, <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty A_n H_n(x)</math>, що носять назву
співвідношень Нільса Нільсона:

<math>A_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k}\frac{(n+2k)!}{k!}a_{n+2k},~~~a_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2^k}\frac{(n+2k)!}{k!}A_{n+2k}</math>

Наприклад, розклад [[гіпергеометрична функція|функції Куммера]] матиме такий вигляд:

<math>
{}_1F_1(\alpha,\gamma;x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(\alpha,n)}{(\gamma,n)(1,n)}{}_2F_2\left (\frac{\alpha+n}{2},\frac{\alpha+n+1}{2};\frac{\gamma+n}{2},\frac{\gamma+n+1}{2}; \frac{1}{2}\right )H_n(x),~~~(a,b)\equiv\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma(a)},
</math>

де <math>{}_2F_2 (a_1,a_2;b_1,b_2;x)</math>&nbsp;— узагальнена [[гіпергеометрична функція]] другого порядку, <math>\Gamma(x)</math>&nbsp;— [[гамма-функція]].

'''Розклад функцій, що містять експоненту'''.

Для будь-якої функції, що записується як суперпозиція [[експонента|експонент]]
<math>
f(x)=\sum_{k=1}^{p}c_k e^{\alpha_k x},
</math>
можна записати наступний розклад по поліномах Ерміта:<br />
<math>
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}A_n H_n(x)~,~~~A_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{p}c_k \alpha_k^n e^{\frac{\alpha_k^2}{2}}~.
</math>

Зокрема розклади відомих [[гіперболічні функції|гіперболічних]] та [[тригонометричні функції|тригонометричних функцій]] мають вигляд

: <math> \cosh {tx}=e^{\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{(2n)!}H_{2n}(x),~~~
\sinh {tx}=e^{\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}H_{2n+1}(x),
</math>

: <math> \cos {tx}=e^{-\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{t^{2n}}{(2n)!}H_{2n}(x),~~~
\sin {tx}=e^{-\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}H_{2n+1}(x),
</math>

== Повнота ==

[[Формула Кристоффеля-Дарбу]] для поліномів Ерміта має вигляд
:<math>\sum_{i=0}^n \frac{H_i(x) H_i(y)}{i!2^i}= \frac{1}{n!2^{n+1}}\frac{H_n(y)H_{n+1}(x)- H_n(x)H_{n+1}(y)}{x-y}.</math>

Більш того, наступна формула справджується і для узагальнений функцій<ref>{{harvnb|Wiener|1958}}</ref>

: <math>\sum_{n=0}^\infty \psi_n (x) \psi_n (y)= \delta(x-y),</math>

де ''δ''&nbsp;— [[дельта-функція Дірака]], (''ψ''<sub>''n''</sub>) функції Ерміта. Ця узагальнена формула слідує якщо покласти ''u''&nbsp;→&nbsp;1 у формулі Мелера, дійсній при &minus;1&nbsp;<&nbsp;''u''&nbsp;<&nbsp;1:

:<math>E(x, y; u) := \sum_{n=0}^\infty u^n \, \psi_n (x) \, \psi_n (y) = \frac 1 {\sqrt{\pi (1 - u^2)}} \, \mathrm{exp} \left( - \frac{1 - u}{1 + u} \, \frac{(x + y)^2}{4} \,-\, \frac{1 + u}{1 - u} \, \frac{(x - y)^2}{4}\right),</math>
яку можна еквівалентно записати так
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)H_n(y)}{n!}\left(\frac u 2\right)^n= \frac 1 {\sqrt{1-u^2}} \mathrm{e}^{\frac{2u}{1+u}x y-\frac{u^2}{1-u^2}(x-y)^2}.</math>

Функція (''x'',&nbsp;''y'')&nbsp;→ ''E''(''x'',&nbsp;''y'';&nbsp;''u'') є густиною для міри Гауса на '''R'''<sup>2</sup> яка є, коли ''u'' прямує до 1, дуже сконцентрованою біля лінії ''y''&nbsp;= ''x'', і сильно спадає поза нею. Тому

:<math> \left\langle \left( \sum_{n=0}^\infty u^n \langle f, \psi_n \rangle \psi_n\right), g \right\rangle = \int\!\!\int E(x, y; u) f(x) \overline{g(y)} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \rightarrow \int f(x) \overline{g(x)} \, \mathrm{d} x = \langle f, g \rangle,</math>

коли ''ƒ'', ''g'' є неперервними функціями на компактному носії. Це приводить до того, що ''ƒ'' може бути виражена через функції Ерміта у вигляді суми ряду векторів з ''L''<sup>2</sup>('''R'''), тобто

:<math> f = \sum_{n=0}^\infty \langle f, \psi_n \rangle \psi_n.</math>

Щоб довести вищенаведену рівність для ''E''(''x'',&nbsp;''y'';&nbsp;''u''), треба декілька разів використати Фур'є перетворення функції Гауса,

: <math> \rho \sqrt{\pi} \, \mathrm{e}^{-\rho^2 x^2 / 4} = \int \mathrm{e}^{isx- s^2/\rho^2}\, \mathrm{d}s, \quad \rho > 0. </math>

Поліноми Ерміта можуть бути представлення у вигляді

:<math> H_n(x) = (-1)^{n} \mathrm{e}^{x^2} \frac {\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} \Bigl( \frac {1}{2\sqrt{\pi}} \int \mathrm{e}^{isx - s^2/4}\, \mathrm{d}s \Bigr) = (-1)^n \mathrm{e}^{x^2}\frac {1}{2\sqrt{\pi}}\int (is)^n \, \mathrm{e}^{isx-  s^2/4}\, \mathrm{d}s. </math>

З цим представленням для ''H<sub>n</sub>''(''x'') і ''H<sub>n</sub>''(''y''), можна бачити що

: <math>
\begin{align}E(x, y; u) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{u^n}{2^n n! \sqrt{\pi}} \, H_n(x) H_n(y) \, \mathrm{e}^{ - (x^2+y^2)/2} \\
& =\frac{\mathrm{e}^{(x^2+y^2)/2}}{4\pi\sqrt{\pi}}\int \!\! \int \Bigl( \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n n! } (-ust)^n \Bigr) \,  \mathrm{e}^{isx+ity - s^2/4 - t^2/4}\, \mathrm{d}s\,\mathrm{d}t \\
& =\frac{\mathrm{e}^{(x^2+y^2)/2} }{4\pi\sqrt{\pi}}\int \!\! \int \mathrm{e}^{-ust/2} \, \mathrm{e}^{isx+ity - s^2/4 - t^2/4}\, \mathrm{d}s\,\mathrm{d}t,\end{align}
</math>

а це приводить до потрібного результату, якщо скористатися формулою [[перетворення Фур'є]] Гаусового ядра після виконання підстановки

: <math>s = \frac{\sigma + \tau}{\sqrt 2},\qquad\qquad t = \frac{\sigma - \tau}{\sqrt 2}.</math>

== Диференціальні рівняння ==
Поліноми Ерміта <math>H_n(x)</math> є розв'язками лінійного [[диференціальні рівняння|диференціального рівняння]]:

<math>y''(x)-xy'(x)+ny(x)=0\,</math>

Якщо <math>n</math> є цілим числом, то загальний розв'язок вищенаведеного рівняння записується як

<math>y(x)=AH_n(x)+Bh_n(x)\,</math>,

де <math>A,B</math>&nbsp;— довільні сталі, а функції <math>h_n(x)</math> називаються [[функції Ерміта другого роду|функціями Ерміта другого роду]]. Ці функції не зводяться до поліномів і їх можна виразити лише за допомогою [[Трансцендентні функції|трансцендентних функцій]] <math>e^{x^2/2}</math> та <math>\int_0^x e^{z^2/2}dz</math>.

== Представлення ==
Поліноми Ерміта допускають такі представлення:

<math>H_n(x)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\Gamma\frac{e^{zx-z^2/2}}{z^{n+1}}\,dz</math>

де <math>\Gamma</math>&nbsp;— контур, що охоплює [[початок координат]].

Інше представлення має вигляд:

<math>H_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}(x+iy)^n e^{-\frac{y^2}{2}}dy</math>.

== Зв'язок з іншими спеціальними функціями ==
* Зв'язок з [[Гіпергеометрична функція|функцією Куммера]]:
*: <math>H_{2n}(x)=\frac{(-1)^n}{2^n}\frac{(2n)!}{n!} ~{}_1F_1\left ( -n;\frac{1}{2};\frac{x^2}{2}\right )~,~~~H_{2n+1}(x)=\frac{(-1)^n}{2^n}\frac{(2n+1)!}{n!}x ~{}_1F_1\left ( -n;\frac{3}{2};\frac{x^2}{2}\right )</math>
* Зв'язок з [[Поліноми Лаґерра|поліномами Лаґерра]]:
*: <math>H_{2n}(x) = (-2)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^2/2)\,\!,~~~H_{2n+1}(x) = (-2)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^2/2)\,\!</math>
*[[Генератриса|Твірна функція]] поліномів Ерміта має вигляд: <math>g(x,t)=\exp(-t^{2}+2tx)=\exp(x^{2})\exp[-(t-x)^{2}].</math> Для цієї функції <math>\exp(x^{2})\exp(-(1-x)^{2})=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{H_{n}(x)}{n!}t^{n}.</math> Диференціювання <math>\sum^{\infty}_{n=0}\frac{H_{n}(x)}{n!}t^{n}</math> разів <math>n</math> по <math>t</math> для лівої частини дає <math>\exp(x^{2})\frac{\partial^{n}}{\partial t^{n}}\exp[-(t-x)^{2}]=\exp(x^{2})(-1)^{n}\frac{\partial^{n}}{\partial x^{n}}\exp[-(t-x)^{2}],</math> а праворуч <math>H_{n}(x)+H_{n+1}(x)t+H_{n+2}(x)t^{2}+...</math> Вважаючи <math>t=0,</math>  <math>H_{n}(x)=(-1)^{n}\exp(x^{2})\frac{d^{n}}{dx^{n}}\exp(-x^{2}),</math>  оскільки <math>\frac{\partial }{\partial t}\exp[-(t-x)^{2}]=\frac{\partial }{\partial x}\exp[-(t-x)^{2}].</math> Таким чином, <math>n</math>-диференціювання по <math>x</math> експоненційної функції <math>\exp(-x^{2})</math> приводить до поліномів Ерміта <math>H_{n}(x).</math> 
*[[Рекурентне співвідношення]]. Продиференціюймо <math>g(x,t)=\exp(-t^{2}+2tx)=\exp(x^{2})\exp[-(t-x)^{2}]</math> по <math>t:</math> 
<math>\frac{\partial g}{\partial i}=-2(t-x)g(x,t),</math>

<math>\sum^{\infty}_{n=1}\frac{H_{n}(x)}{(n-1)!}t^{n-1}+2(t-x)\sum^{\infty}_{n=0}\frac{H_{n}(x)}{n!}=0,</math>

<math>\sum^{\infty}_{n=0}[\frac{H_{n+1}(x)}{n!}-2x\frac{H_{n}(x)}{n!}+\frac{2H_{n-1}(x)}{(n-1)!}]t^{n}=0,</math>

та отримаймо

<math>H_{n+1}(x)-2xH_{n}(x)+2nH_{n-1}(x)=0.</math>

Із сказаного можна отримати диференціальне рівняння

<math>H^{\prime\prime}_{n}(x)-2xH_{n}(x)+2nH_{n}=0,\quad\quad n=\overline{0,1,2,...,}</math>

яке є частковим рішенням лінійного диференціального рівняння другого порядку <math>H^{\prime\prime}_{n}(x)+2x H^{\prime}_{n}(x)+2n H_{n}(x)=0.</math>

== Застосування ==
* В квантовій механіці поліноми Ерміта входять до виразу [[Хвильова функція|хвильової функції]] [[квантовий осцилятор|квантового гармонічного осцилятора]]. В безрозмірних змінних [[рівняння Шредінгера]], яке описує стани квантового гармонічного осцилятора, має вигляд:

: <math>
\left (-\frac{d^2}{dx^2}+x^2 \right )\psi_n(x)=\lambda_n \psi_n(x) 
</math>.

: Розв'язками цього рівняння є власні функції осцилятора, що відповідають власним значенням <math>\lambda_n=2n+1</math>. Нормовані на одиницю вони записуються як
: <math>
\psi_n(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}\frac{(-1)^n}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}}H_n^*(x)~,~~n=0,1,2,\dots~
</math>.

: Зазначимо, що в даному виразі використовуються саме «фізичні» поліноми Ерміта <math>H_n^*(x)</math>.

* Поліноми Ерміта використовуються в розв'язку одновимірного [[рівняння теплопровідності]] <math>u_t-u_{xx}=0</math> на нескінченному інтервалі. Це рівняння має розв'язок у вигляді експоненційної функції <math>u(x,t)=e^{\alpha x+\alpha^2 t}</math>. Оскільки таку функцію можна представити у вигляді розкладу по поліномах Ерміта, а з іншого боку вона може бути розкладена в [[ряд Тейлора]] по <math>\alpha</math>:

: <math>
e^{\alpha x+\alpha^2 t}=\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{n!}P_n(x,t)
</math>,

: то функції <math>P_n(x,t)</math>, що є розв'язками [[рівняння теплопровідності]] і задовольняють початковій умові <math>P_n(x,t=0)=x^n</math>, виражаються через поліноми Ерміта наступним чином:

: <math>
P_n(x,t)=(i\sqrt{2t})^nH_n \left ( \frac{x}{i\sqrt{2t}} \right )=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}y^n dy
</math>.

: Для отримання останньої рівності було використано інтеграл Пуасона-Фур'є.

* В теорії ймовірностей поліноми Ерміта входять до так званих [[ряди Еджворта|рядів Еджворта]], які використовуються для наближення [[густина ймовірності|функції густини ймовірності]] через її [[кумулянт]]и.

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* Abramowitz, Milton & Stegun, Irene A., eds. (1965), «Chapter 22», Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4.
* {{cite book |title=The Fourier Integral and Certain of its Applications|url=https://archive.org/details/fourierintegralc0000wien_v9u3|last=Wiener |first=Norbert |authorlink=Норберт Вінер |year=1958 |publisher=Dover Publications |location=New York|isbn=0-486-60272-9}}
* {{cite book |title=A Course of Modern Analysis|last=Whittaker |first=E. T. |authorlink= |coauthors=Watson, G. N. |year=1962 |publisher=Cambridge University Press |location=London}}
* {{cite book
|ім'я=
|прізвище=
|автор= Ж. Кампе де Ферье 
|авторлінк=
|співавтори=Р. Кемпбелл, Г. Петьо, Т. Фогель
|пубдата=
|пубрік=
|пубмісяць=
|дата=
|рік=1963
|місяць=
|назва= Функции математической физики
|розділ=IX |url-розділу=|редактор=
| url=https://archive.org/details/libgen_00014742
|формат=
|інші=
|видання=
|мова= російська 
|сторінки= [https://archive.org/details/libgen_00014742/page/n61 62]-70
|видавництво=Физматгиз
| розміщення=Москва
|isbn=
|посилання=
}}

== Зовнішні посилання ==
* [http://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html Eric W. Weisstein, Hermite Polynomial] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080721051439/http://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html |date=21 липня 2008 }} {{ref-en}} на сайті [http://mathworld.wolfram.com/ MathWorld] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170628174252/http://demonstrations.wolfram.com/MagicSquare/ |date=28 червня 2017 }}.
* [https://web.archive.org/web/20080515231036/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/HermitePolyMod.html Module for Hermite Polynomial Interpolation by John H. Mathews]

{{Ортогональні поліноми (список)}}
{{добра стаття}}

[[Категорія:Ортогональні поліноми]]