Поліноми Ерміта

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Ортогональні поліноми
Ерміта
Відкриті Шарлем Ермітом в 1864 році
Формула
Диференціальне рівняння
Визначені на
Вага
Норма
Примітки В фізиці часто використовуються поліноми Ерміта, визначені як


Поліноми Ерміта (англ. Hermite polynomials) — ортогональні поліноми, що використовуються в теорії ймовірностей, математичній фізиці при розв'язку рівняння дифузії, чисельному аналізі та квантовій механіці (як власні функції квантового гармонічного осцилятора). Названі на честь французького математика Шарля Ерміта, який ввів[1] їх в 1864 році.

Визначення[ред.ред. код]

Графіки поліномів Ерміта порядку

Поліномами Ерміта називається послідовність поліномів ,, що задовільняють співвідношенню:
,
з якого випливає
.
Таке означення здебільшого використовується в теорії ймовірностей. У фізиці (здебільшого в квантовій механіці) використовують наступне означення:
.
Зв'язок між «фізичними» та «ймовірностними» поліномами Ерміта здійснюється через наступне рівняння:

.
В цій статті будуть використовуватися «ймовірностні» поліноми (якщо не зазначено інше).

Явні вирази перших одинадцяти поліномів Ерміта мають такий вигляд:

Загальний вираз для поліномів Ерміта має вигляд

Властивості[ред.ред. код]

Поліном містить члени лише тієї ж парності, що й саме число :

.

При мають місце такі співвідношення:

.

Рівняння має дійсних коренів, що є попарно симетричними відносно початку системи координат і модуль жодного з них не перевищує величини . Корені полінома чергуються з коренями полінома .

Поліном можна представити у вигляді визначника матриці :

Формула додавання[ред.ред. код]

Має місце наступна формула додавання поліномів Ерміта:

Частковими випадками такої формули є такі:

  • , . Тоді
.
  • , , . Тоді
.

Диференціювання та рекурентні співвідношення[ред.ред. код]

Похідна -ого порядку від полінома Ерміта , також є поліномом Ерміта:

звідки випливає співвідошення для першої похідної

та рекурентне співвідношення між трьома послідовними поліномами:

Ортогональність[ред.ред. код]

Поліноми Ерміта утворюють повну ортогональну систему на інтервалі з вагою :

,

де  — дельта-символ Кронекера.

Важливим наслідком ортогональності поліномів Ерміта є можливість розкладу різних функцій в ряди по поліномах Ерміта. Для будь-якого невід'ємного цілого справедливий запис

З нього випливає зв'язок між коефіцієнтами розкладу функції в ряд Маклорена та коефіцієнтами розкладу цієї ж функції по поліномах Ерміта, , що носять назву співвідношень Нільса Нільсона:

Наприклад, розклад функції Куммера матиме такий вигляд:

де  — узагальнена гіпергеометрична функція другого порядку,  — гамма-функція.

Розклад функцій, що містять експоненту.

Для будь-якої функції, що записується як суперпозиція експонент можна записати наступний розклад по поліномах Ерміта:

Зокрема розклади відомих гіперболічних та тригонометричних функцій мають вигляд

Повнота[ред.ред. код]

Формула Кристоффеля-Дарбу для поліномів Ерміта має вигляд

Більш того, наступна формула справджується і для узагальнений функцій[2]

де δ - дельта-функція Дірака, (ψn) функції Ерміта. Ця узагальнена формула слідує якщо покласти u → 1 у формулі Мелера, дійсній при −1 < u < 1:

яку можна еквівалентно записати так

Функція (xy) → E(xyu) є густиною для міри Гауса на R2 яка є, коли u прямує до 1, дуже сконцентрованою біля лінії y = x, і сильно спадає поза нею. Тому

коли ƒ, g є неперервними функціями на компактному носії. Це приводить до того, що ƒ може бути виражена через функції Ерміта у вигляді суми ряду векторів з L2(R), тобто

Щоб довести вищенаведену рівність для E(xyu), треба декілька разів використати Фур'є перетворення функції Гауса,

Поліноми Ерміта можуть бути представлення у вигляді

З цим представленням для Hn(x) і Hn(y), можна бачити що

а це приводить до потрібного результату, якщо скористатися формулою перетворення Фур'є Гаусового ядра після виконання підстановки

Диференціальні рівняння[ред.ред. код]

Поліноми Ерміта є розв'язками лінійного диференціального рівняння:

Якщо є цілим числом, то загальний розв'язок вищенаведеного рівняння записується як

,

де  — довільні сталі, а функції називаються функціями Ерміта другого роду. Ці функції не зводяться до поліномів і їх можна виразити лише за допомогою трансцендентних функцій та .

Представлення[ред.ред. код]

Поліноми Ерміта допускають такі представлення:

де  — контур, що охоплює початок координат.

Інше представлення має вигляд:

.

Зв'язок з іншими спеціальними функціями[ред.ред. код]

  • Зв'язок з функцією Куммера:
  • Зв'язок з поліномами Лаґерра:

Застосування[ред.ред. код]

.
Розв'язками цього рівняння є власні функції осцилятора, що відповідають власним значенням . Нормовані на одиницю вони записуються як
.
Зазначимо, що в даному виразі використовуються саме «фізичні» поліноми Ерміта .
  • Поліноми Ерміта використовуються в розв'язку одновимірного рівняння теплопровідності на нескінченному інтервалі. Це рівняння має розв'язок у вигляді експоненційної фунції . Оскільки таку функцію можна представити у вигляді розкладу по поліномах Ерміта, а з іншого боку вона може бути розкладена в ряд Тейлора по :
,
то функції , що є розв'язками рівняння теплопровідності і задовільняють початковій умові , виражаються через поліноми Ерміта наступним чином:
.
Для отримання останньої рівності було використано інтеграл Пуасона-Фур'є.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Hermite C. Sur un nouveau développement en série de fonctions. // Compt. Rend. Acad. Sci. Paris. — 1864. — Т. 58. — С. 93-100; 266-273., передруковано також в C. Hermite (1908). Oeuvres complètes (французька). tome 2. Paris. с. 293–308. 
  2. Wiener 1958

Література[ред.ред. код]

  • Abramowitz, Milton & Stegun, Irene A., eds. (1965), «Chapter 22», Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4.
  • Wiener, Norbert (1958). The Fourier Integral and Certain of its Applications. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60272-9. 
  • Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1962). A Course of Modern Analysis. London: Cambridge University Press. 
  • Ж. Кампе де Ферье; Р. Кемпбелл, Г. Петьо, Т. Фогель (1963). IX. Функции математической физики (російська). Москва: Физматгиз. с. 62–70. 

Зовнішні посилання[ред.ред. код]