Поліноми Ерміта (англ. Hermite polynomials) — ортогональні поліноми, що використовуються в теорії ймовірностей, математичній фізиці при розв'язку рівняння дифузії, чисельному аналізі та квантовій механіці (як власні функції квантового гармонічного осцилятора). Названі на честь французького математика Шарля Ерміта, який ввів[1] їх в 1864 році.
Графіки поліномів Ерміта порядку

Поліномами Ерміта називається послідовність поліномів
,
, що задовольняють співвідношенню:
,
з якого випливає
.
Таке означення здебільшого використовується в теорії ймовірностей. У фізиці (здебільшого в квантовій механіці) використовують наступне означення:
.
Зв'язок між «фізичними» та «ймовірнісними» поліномами Ерміта здійснюється через наступне рівняння:
.
В цій статті будуть використовуватися «ймовірнісні» поліноми (якщо не зазначено інше).
Явні вирази перших одинадцяти поліномів Ерміта мають такий вигляд:











Загальний вираз для поліномів Ерміта має вигляд
Поліном
містить члени лише тієї ж парності, що й саме число
:
.
При
мають місце такі співвідношення:
.
Рівняння
має
дійсних коренів, що є попарно симетричними відносно початку системи координат і модуль жодного з них не перевищує величини
. Корені полінома
чергуються з коренями полінома
.
Поліном
можна представити у вигляді визначника матриці
:
Має місце наступна формула додавання поліномів Ерміта:
![{\displaystyle {\frac {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})^{\frac {\mu }{2}}}{\mu !}}H_{\mu }\left[{\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots a_{n}x_{n}}{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}}}\right]=\sum _{m_{1}+\cdots +m_{n}=\mu }{\frac {a_{1}^{m_{1}}}{m_{1}!}}\cdots {\frac {a_{n}^{m_{n}}}{m_{n}!}}H_{m_{1}}(x_{1})\cdots H_{m_{n}}(x_{n})~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e86bac42f18f978178d08b60ec35738484910b5)
Частковими випадками такої формули є такі:
,
. Тоді
.
,
,
. Тоді
.
Диференціювання та рекурентні співвідношення[ред. | ред. код]
Похідна
-го порядку від полінома Ерміта
,
також є поліномом Ерміта:

звідки випливає співвідошення для першої похідної
та рекурентне співвідношення між трьома послідовними поліномами:
Поліноми Ерміта утворюють повну ортогональну систему на інтервалі
з вагою
:
,
де
— дельта-символ Кронекера.
Важливим наслідком ортогональності поліномів Ерміта є можливість розкладу різних функцій в ряди по поліномах Ерміта.
Для будь-якого невід'ємного цілого
справедливий запис
З нього випливає зв'язок між коефіцієнтами розкладу функції в ряд Маклорена
та
коефіцієнтами розкладу цієї ж функції по поліномах Ерміта,
, що носять назву
співвідношень Нільса Нільсона:
Наприклад, розклад функції Куммера матиме такий вигляд:
де
— узагальнена гіпергеометрична функція другого порядку,
— гамма-функція.
Розклад функцій, що містять експоненту.
Для будь-якої функції, що записується як суперпозиція експонент
можна записати наступний розклад по поліномах Ерміта:
Зокрема розклади відомих гіперболічних та тригонометричних функцій мають вигляд


Формула Кристоффеля-Дарбу для поліномів Ерміта має вигляд

Більш того, наступна формула справджується і для узагальнений функцій[2]

де δ — дельта-функція Дірака, (ψn) функції Ерміта. Ця узагальнена формула слідує якщо покласти u → 1 у формулі Мелера, дійсній при −1 < u < 1:

яку можна еквівалентно записати так

Функція (x, y) → E(x, y; u) є густиною для міри Гауса на R2 яка є, коли u прямує до 1, дуже сконцентрованою біля лінії y = x, і сильно спадає поза нею. Тому

коли ƒ, g є неперервними функціями на компактному носії. Це приводить до того, що ƒ може бути виражена через функції Ерміта у вигляді суми ряду векторів з L2(R), тобто

Щоб довести вищенаведену рівність для E(x, y; u), треба декілька разів використати Фур'є перетворення функції Гауса,

Поліноми Ерміта можуть бути представлення у вигляді

З цим представленням для Hn(x) і Hn(y), можна бачити що

а це приводить до потрібного результату, якщо скористатися формулою перетворення Фур'є Гаусового ядра після виконання підстановки

Диференціальні рівняння[ред. | ред. код]
Поліноми Ерміта
є розв'язками лінійного диференціального рівняння:
Якщо
є цілим числом, то загальний розв'язок вищенаведеного рівняння записується як
,
де
— довільні сталі, а функції
називаються функціями Ерміта другого роду. Ці функції не зводяться до поліномів і їх можна виразити лише за допомогою трансцендентних функцій
та
.
Поліноми Ерміта допускають такі представлення:
де
— контур, що охоплює початок координат.
Інше представлення має вигляд:
.
Зв'язок з іншими спеціальними функціями[ред. | ред. код]
- Зв'язок з функцією Куммера:

- Зв'язок з поліномами Лаґерра:

- Твірна функція поліномів Ерміта має вигляд:
Для цієї функції
Диференціювання
разів
по
для лівої частини дає
а праворуч
Вважаючи
оскільки
Таким чином,
-диференціювання по
експоненційної функції
приводить до поліномів Ерміта 
- Рекурентне співвідношення. Продиференціюймо
по 
та отримаймо
Із сказаного можна отримати диференціальне рівняння
яке є частковим рішенням лінійного диференціального рівняння другого порядку
.
- Розв'язками цього рівняння є власні функції осцилятора, що відповідають власним значенням
. Нормовані на одиницю вони записуються як
.
- Зазначимо, що в даному виразі використовуються саме «фізичні» поліноми Ерміта
.
- Поліноми Ерміта використовуються в розв'язку одновимірного рівняння теплопровідності
на нескінченному інтервалі. Це рівняння має розв'язок у вигляді експоненційної функції
. Оскільки таку функцію можна представити у вигляді розкладу по поліномах Ерміта, а з іншого боку вона може бути розкладена в ряд Тейлора по
:
,
- то функції
, що є розв'язками рівняння теплопровідності і задовольняють початковій умові
, виражаються через поліноми Ерміта наступним чином:
.
- Для отримання останньої рівності було використано інтеграл Пуасона-Фур'є.
- ↑
Hermite C. Sur un nouveau développement en série de fonctions. // Compt. Rend. Acad. Sci. Paris. — 1864. — Т. 58. — С. 93-100; 266-273., передруковано також в C. Hermite (1908). Oeuvres complètes (французька). tome 2. Paris. с. 293–308.
- ↑ (Wiener, 1958)
- Abramowitz, Milton & Stegun, Irene A., eds. (1965), «Chapter 22», Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4.
- Wiener, Norbert (1958). The Fourier Integral and Certain of its Applications. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60272-9.
- Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1962). A Course of Modern Analysis. London: Cambridge University Press.
- Ж. Кампе де Ферье; Р. Кемпбелл, Г. Петьо, Т. Фогель (1963). IX. Функции математической физики (російська). Москва: Физматгиз. с. 62-70.