Поліноми Ерміта

Ортогональні поліноми
Ерміта
Відкриті	Шарлем Ермітом в 1864 році
Формула	$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\right)$
Диференціальне рівняння	$\ y''(x)-xy'(x)+ny(x)=0$
Визначені на	$\ [-\infty ,+\infty ]$
Вага	$e^{-x^{2}/2}\,\!$
Норма	${\sqrt {n!{\sqrt {2\pi }}}}$
Примітки	В фізиці часто використовуються поліноми Ерміта, визначені як $H_{n}^{*}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-{x^{2}}}\right)$ $H_{n}^{*}(x)=2^{\frac {n}{2}}H_{n}({\sqrt {2}}x)$

Поліноми Ерміта (англ. Hermite polynomials) — ортогональні поліноми, що використовуються в теорії ймовірностей, математичній фізиці при розв'язку рівняння дифузії, чисельному аналізі та квантовій механіці (як власні функції квантового гармонічного осцилятора). Названі на честь французького математика Шарля Ерміта, який ввів їх в 1864 році.

Визначення

Графіки поліномів Ерміта порядку $n=0,1,...,5$

Поліномами Ерміта називається послідовність поліномів $H_{n}(x)$,$n=0,1,...$, що задовольняють співвідношенню:
$e^{tx-{\frac {t^{2}}{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}$,
з якого випливає
$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\right)$.
Таке означення здебільшого використовується в теорії ймовірностей. У фізиці (здебільшого в квантовій механіці) використовують наступне означення:
$H_{n}^{*}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-{x^{2}}}\right)$.
Зв'язок між «фізичними» та «ймовірнісними» поліномами Ерміта здійснюється через наступне рівняння:

$H_{n}^{*}(x)=2^{\frac {n}{2}}H_{n}({\sqrt {2}}x)$.
В цій статті будуть використовуватися «ймовірнісні» поліноми (якщо не зазначено інше).

Явні вирази перших одинадцяти поліномів Ерміта мають такий вигляд:

$H_{0}(x)=1\,$

$H_{1}(x)=x\,$

$H_{2}(x)=x^{2}-1\,$

$H_{3}(x)=x^{3}-3x\,$

$H_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3\,$

$H_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x\,$

$H_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15\,$

$H_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x\,$

$H_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105\,$

$H_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x\,$

$H_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945\,$

Загальний вираз для поліномів Ерміта має вигляд $H_{n}(x)=\sum _{j=0}^{[n/2]}{\frac {(-1)^{j}}{2^{j}}}{\frac {n!}{j!(n-2j)!}}x^{n-2j}=x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2}}x^{n-2}+{\frac {1}{4}}{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}}x^{n-4}-\ldots ,$

Властивості

Поліном $H_{n}(x)$ містить члени лише тієї ж парності, що й саме число $n$:

$H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),~~H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),~~~n=0,1,2,\ldots$.

При $x=0$ мають місце такі співвідношення:

$H_{2n}(0)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n)!}{n!}},~~H_{2n+1}=0,~~~n=0,1,2,\ldots$.

Рівняння $H_{n}(x)=0$ має $n$ дійсних коренів, що є попарно симетричними відносно початку системи координат і модуль жодного з них не перевищує величини ${\sqrt {n(n-1)/2}}$. Корені полінома $H_{n}(x)=0$ чергуються з коренями полінома $H_{n+1}(x)=0$.

Поліном $H_{n}(x)$ можна представити у вигляді визначника матриці $n\times n$:

$H_{n}(x)=\left|{\begin{array}{cccccc}x&n-1&0&0&\cdots &0\\1&x&n-2&0&\cdots &0\\0&1&x&n-3&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&0&0&\cdots &x\end{array}}\right|$

Формула додавання

Має місце наступна формула додавання поліномів Ерміта:

${\frac {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})^{\frac {\mu }{2}}}{\mu !}}H_{\mu }\left[{\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots a_{n}x_{n}}{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}}}\right]=\sum _{m_{1}+\cdots +m_{n}=\mu }{\frac {a_{1}^{m_{1}}}{m_{1}!}}\cdots {\frac {a_{n}^{m_{n}}}{m_{n}!}}H_{m_{1}}(x_{1})\cdots H_{m_{n}}(x_{n})~.$

Частковими випадками такої формули є такі:

• $a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=1$, $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$. Тоді

$n^{\frac {\mu }{2}}H_{\mu }({\sqrt {n}}x)=\sum _{m_{1}+\cdots +m_{n}=\mu }{\frac {\mu !}{m_{1}!\cdots m_{n}!}}H_{m_{1}}(x)\cdots H_{m_{n}}(x)$.

• $n=2$, $a_{1}=a_{2}=1$, $x_{1}={\sqrt {2}}x,~x_{2}={\sqrt {2}}y$. Тоді

$2^{\mu }H_{\mu }(x+y)=\sum _{p+q+r+s=\mu }{\frac {\mu !}{p!~q!~r!~s!}}H_{p}(x)H_{q}(x)H_{r}(x)H_{s}(x)$.

Диференціювання та рекурентні співвідношення

Похідна $k$-го порядку від полінома Ерміта $H_{n}(x)$, $n\geq k$ також є поліномом Ерміта:
${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}H_{n}(x)=n(n-1)\cdots (n-k+1)H_{n-k}(x)~,$
звідки випливає співвідошення для першої похідної
$H'_{n}(x)={\frac {dH_{n}(x)}{dx}}=nH_{n-1}(x)$
та рекурентне співвідношення між трьома послідовними поліномами:

$H_{n}(x)-xH_{n-1}(x)+(n-1)H_{n-2}(x)=0~,~~n\geq 2$

Ортогональність

Поліноми Ерміта утворюють повну ортогональну систему на інтервалі $]-\infty ,+\infty [$ з вагою $e^{-x^{2}/2}\,\!$:

$\int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}/2}\,dx=n!{\sqrt {2\pi }}~\delta _{\mathit {nm}}$,

де $\delta _{mn}$ — дельта-символ Кронекера.

Важливим наслідком ортогональності поліномів Ерміта є можливість розкладу різних функцій в ряди по поліномах Ерміта. Для будь-якого невід'ємного цілого $p$ справедливий запис

${\frac {x^{p}}{p!}}=\sum _{k=0}^{k\leq p/2}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {1}{k!(p-2k)!}}H_{p-2k}(x).$

З нього випливає зв'язок між коефіцієнтами розкладу функції в ряд Маклорена $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ та коефіцієнтами розкладу цієї ж функції по поліномах Ерміта, $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)$, що носять назву співвідношень Нільса Нільсона:

$A_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {(n+2k)!}{k!}}a_{n+2k},~~~a_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}{\frac {(n+2k)!}{k!}}A_{n+2k}$

Наприклад, розклад функції Куммера матиме такий вигляд:

${}_{1}F_{1}(\alpha ,\gamma ;x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha ,n)}{(\gamma ,n)(1,n)}}{}_{2}F_{2}\left({\frac {\alpha +n}{2}},{\frac {\alpha +n+1}{2}};{\frac {\gamma +n}{2}},{\frac {\gamma +n+1}{2}};{\frac {1}{2}}\right)H_{n}(x),~~~(a,b)\equiv {\frac {\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)}},$

де ${}_{2}F_{2}(a_{1},a_{2};b_{1},b_{2};x)$ — узагальнена гіпергеометрична функція другого порядку, $\Gamma (x)$ — гамма-функція.

Розклад функцій, що містять експоненту.

Для будь-якої функції, що записується як суперпозиція експонент $f(x)=\sum _{k=1}^{p}c_{k}e^{\alpha _{k}x},$ можна записати наступний розклад по поліномах Ерміта:
$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)~,~~~A_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=1}^{p}c_{k}\alpha _{k}^{n}e^{\frac {\alpha _{k}^{2}}{2}}~.$

Зокрема розклади відомих гіперболічних та тригонометричних функцій мають вигляд

$\cosh {tx}=e^{\frac {t^{2}}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{(2n)!}}H_{2n}(x),~~~\sinh {tx}=e^{\frac {t^{2}}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{2n+1}}{(2n+1)!}}H_{2n+1}(x),$

$\cos {tx}=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {t^{2n}}{(2n)!}}H_{2n}(x),~~~\sin {tx}=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {t^{2n+1}}{(2n+1)!}}H_{2n+1}(x),$

Повнота

Формула Кристоффеля-Дарбу для поліномів Ерміта має вигляд

$\sum _{i=0}^{n}{\frac {H_{i}(x)H_{i}(y)}{i!2^{i}}}={\frac {1}{n!2^{n+1}}}{\frac {H_{n}(y)H_{n+1}(x)-H_{n}(x)H_{n+1}(y)}{x-y}}.$

Більш того, наступна формула справджується і для узагальнений функцій

$\sum _{n=0}^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)=\delta (x-y),$

де δ — дельта-функція Дірака, (ψ_n) функції Ерміта. Ця узагальнена формула слідує якщо покласти u → 1 у формулі Мелера, дійсній при −1 < u < 1:

$E(x,y;u):=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\,\psi _{n}(x)\,\psi _{n}(y)={\frac {1}{\sqrt {\pi (1-u^{2})}}}\,\mathrm {exp} \left(-{\frac {1-u}{1+u}}\,{\frac {(x+y)^{2}}{4}}\,-\,{\frac {1+u}{1-u}}\,{\frac {(x-y)^{2}}{4}}\right),$

яку можна еквівалентно записати так

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)H_{n}(y)}{n!}}\left({\frac {u}{2}}\right)^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}\mathrm {e} ^{{\frac {2u}{1+u}}xy-{\frac {u^{2}}{1-u^{2}}}(x-y)^{2}}.$

Функція (x, y) → E(x, y; u) є густиною для міри Гауса на R² яка є, коли u прямує до 1, дуже сконцентрованою біля лінії y = x, і сильно спадає поза нею. Тому

$\left\langle \left(\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\langle f,\psi _{n}\rangle \psi _{n}\right),g\right\rangle =\int \!\!\int E(x,y;u)f(x){\overline {g(y)}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\rightarrow \int f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x=\langle f,g\rangle ,$

коли ƒ, g є неперервними функціями на компактному носії. Це приводить до того, що ƒ може бути виражена через функції Ерміта у вигляді суми ряду векторів з L²(R), тобто

$f=\sum _{n=0}^{\infty }\langle f,\psi _{n}\rangle \psi _{n}.$

Щоб довести вищенаведену рівність для E(x, y; u), треба декілька разів використати Фур'є перетворення функції Гауса,

$\rho {\sqrt {\pi }}\,\mathrm {e} ^{-\rho ^{2}x^{2}/4}=\int \mathrm {e} ^{isx-s^{2}/\rho ^{2}}\,\mathrm {d} s,\quad \rho >0.$

Поліноми Ерміта можуть бути представлення у вигляді

$H_{n}(x)=(-1)^{n}\mathrm {e} ^{x^{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\Bigl (}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int \mathrm {e} ^{isx-s^{2}/4}\,\mathrm {d} s{\Bigr )}=(-1)^{n}\mathrm {e} ^{x^{2}}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int (is)^{n}\,\mathrm {e} ^{isx-s^{2}/4}\,\mathrm {d} s.$

З цим представленням для H_n(x) і H_n(y), можна бачити що

${\begin{aligned}E(x,y;u)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}\,H_{n}(x)H_{n}(y)\,\mathrm {e} ^{-(x^{2}+y^{2})/2}\\&={\frac {\mathrm {e} ^{(x^{2}+y^{2})/2}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\int \!\!\int {\Bigl (}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n!}}(-ust)^{n}{\Bigr )}\,\mathrm {e} ^{isx+ity-s^{2}/4-t^{2}/4}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t\\&={\frac {\mathrm {e} ^{(x^{2}+y^{2})/2}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\int \!\!\int \mathrm {e} ^{-ust/2}\,\mathrm {e} ^{isx+ity-s^{2}/4-t^{2}/4}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t,\end{aligned}}$

а це приводить до потрібного результату, якщо скористатися формулою перетворення Фур'є Гаусового ядра після виконання підстановки

$s={\frac {\sigma +\tau }{\sqrt {2}}},\qquad \qquad t={\frac {\sigma -\tau }{\sqrt {2}}}.$

Диференціальні рівняння

Поліноми Ерміта $H_{n}(x)$ є розв'язками лінійного диференціального рівняння:

$y''(x)-xy'(x)+ny(x)=0\,$

Якщо $n$ є цілим числом, то загальний розв'язок вищенаведеного рівняння записується як

$y(x)=AH_{n}(x)+Bh_{n}(x)\,$,

де $A,B$ — довільні сталі, а функції $h_{n}(x)$ називаються функціями Ерміта другого роду. Ці функції не зводяться до поліномів і їх можна виразити лише за допомогою трансцендентних функцій $e^{x^{2}/2}$ та $\int _{0}^{x}e^{z^{2}/2}dz$.

Представлення

Поліноми Ерміта допускають такі представлення:

$H_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\Gamma }{\frac {e^{zx-z^{2}/2}}{z^{n+1}}}\,dz$

де $\Gamma$ — контур, що охоплює початок координат.

Інше представлення має вигляд:

$H_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }(x+iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}dy$.

Зв'язок з іншими спеціальними функціями

• Зв'язок з функцією Куммера:

  $H_{2n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n)!}{n!}}~{}_{1}F_{1}\left(-n;{\frac {1}{2}};{\frac {x^{2}}{2}}\right)~,~~~H_{2n+1}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n+1)!}{n!}}x~{}_{1}F_{1}\left(-n;{\frac {3}{2}};{\frac {x^{2}}{2}}\right)$

• Зв'язок з поліномами Лаґерра:

  $H_{2n}(x)=(-2)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^{2}/2)\,\!,~~~H_{2n+1}(x)=(-2)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^{2}/2)\,\!$

• Твірна функція поліномів Ерміта має вигляд: $g(x,t)=\exp(-t^{2}+2tx)=\exp(x^{2})\exp[-(t-x)^{2}].$ Для цієї функції $\exp(x^{2})\exp(-(1-x)^{2})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)}{n!}}t^{n}.$ Диференціювання $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)}{n!}}t^{n}$ разів $n$ по $t$ для лівої частини дає $\exp(x^{2}){\frac {\partial ^{n}}{\partial t^{n}}}\exp[-(t-x)^{2}]=\exp(x^{2})(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial x^{n}}}\exp[-(t-x)^{2}],$ а праворуч $H_{n}(x)+H_{n+1}(x)t+H_{n+2}(x)t^{2}+...$ Вважаючи $t=0,$ $H_{n}(x)=(-1)^{n}\exp(x^{2}){\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\exp(-x^{2}),$ оскільки ${\frac {\partial }{\partial t}}\exp[-(t-x)^{2}]={\frac {\partial }{\partial x}}\exp[-(t-x)^{2}].$ Таким чином, $n$-диференціювання по $x$ експоненційної функції $\exp(-x^{2})$ приводить до поліномів Ерміта $H_{n}(x).$
• Рекурентне співвідношення. Продиференціюймо $g(x,t)=\exp(-t^{2}+2tx)=\exp(x^{2})\exp[-(t-x)^{2}]$ по $t:$

${\frac {\partial g}{\partial i}}=-2(t-x)g(x,t),$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)}{(n-1)!}}t^{n-1}+2(t-x)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)}{n!}}=0,$

$\sum _{n=0}^{\infty }[{\frac {H_{n+1}(x)}{n!}}-2x{\frac {H_{n}(x)}{n!}}+{\frac {2H_{n-1}(x)}{(n-1)!}}]t^{n}=0,$

та отримаймо

$H_{n+1}(x)-2xH_{n}(x)+2nH_{n-1}(x)=0.$

Із сказаного можна отримати диференціальне рівняння

$H_{n}^{\prime \prime }(x)-2xH_{n}(x)+2nH_{n}=0,\quad \quad n={\overline {0,1,2,...,}}$

яке є частковим рішенням лінійного диференціального рівняння другого порядку $H_{n}^{\prime \prime }(x)+2xH_{n}^{\prime }(x)+2nH_{n}(x)=0.$

Застосування

• В квантовій механіці поліноми Ерміта входять до виразу хвильової функції квантового гармонічного осцилятора. В безрозмірних змінних рівняння Шредінгера, яке описує стани квантового гармонічного осцилятора, має вигляд:

$\left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+x^{2}\right)\psi _{n}(x)=\lambda _{n}\psi _{n}(x)$.

Розв'язками цього рівняння є власні функції осцилятора, що відповідають власним значенням $\lambda _{n}=2n+1$. Нормовані на одиницю вони записуються як

$\psi _{n}(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}}H_{n}^{*}(x)~,~~n=0,1,2,\dots ~$.

Зазначимо, що в даному виразі використовуються саме «фізичні» поліноми Ерміта $H_{n}^{*}(x)$.

• Поліноми Ерміта використовуються в розв'язку одновимірного рівняння теплопровідності $u_{t}-u_{xx}=0$ на нескінченному інтервалі. Це рівняння має розв'язок у вигляді експоненційної функції $u(x,t)=e^{\alpha x+\alpha ^{2}t}$. Оскільки таку функцію можна представити у вигляді розкладу по поліномах Ерміта, а з іншого боку вона може бути розкладена в ряд Тейлора по $\alpha$:

$e^{\alpha x+\alpha ^{2}t}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{n!}}P_{n}(x,t)$,

то функції $P_{n}(x,t)$, що є розв'язками рівняння теплопровідності і задовольняють початковій умові $P_{n}(x,t=0)=x^{n}$, виражаються через поліноми Ерміта наступним чином:

$P_{n}(x,t)=(i{\sqrt {2t}})^{n}H_{n}\left({\frac {x}{i{\sqrt {2t}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{4t}}}y^{n}dy$.

Для отримання останньої рівності було використано інтеграл Пуасона-Фур'є.

• В теорії ймовірностей поліноми Ерміта входять до так званих рядів Еджворта, які використовуються для наближення функції густини ймовірності через її кумулянти.

Література

• Abramowitz, Milton & Stegun, Irene A., eds. (1965), «Chapter 22», Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4.
• Wiener, Norbert (1958). The Fourier Integral and Certain of its Applications. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60272-9. 
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1962). A Course of Modern Analysis. London: Cambridge University Press. 
• Ж. Кампе де Ферье; Р. Кемпбелл, Г. Петьо, Т. Фогель (1963). IX. Функции математической физики (російська). Москва: Физматгиз. с. 62-70. 

Зовнішні посилання

• Eric W. Weisstein, Hermite Polynomial [Архівовано 21 липня 2008 у Wayback Machine.] (англ.) на сайті MathWorld [Архівовано 28 червня 2017 у Wayback Machine.].
• Module for Hermite Polynomial Interpolation by John H. Mathews