Пфаффіан

Пфаффіаном кососиметричної матриці називається деякий многочлен від її елементів, квадрат якого дорівнює визначнику цієї матриці. Як і визначник, пфаффіан є ненульовим тільки для кососиметричних матриць порядку $2n\times 2n$, і в цьому випадку його степінь дорівнює n.

Термін «пфаффіан» був введений Артуром Келі та названий на честь німецького математика Йоганна Фрідріха Пфаффа.

Приклади

${\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}}=a.$

${\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc.$

${\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&\lambda _{1}&0&0&\cdots &0&0\\-\lambda _{1}&0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\lambda _{2}&\cdots &0&0\\0&0&-\lambda _{2}&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0&\lambda _{n}\\0&0&0&0&\cdots &-\lambda _{n}&0\end{bmatrix}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.$

Означення

Нехай $A=\{a_{ij}\}$ є кососиметричною матрицею порядку $2n\times 2n$. Пфаффіаном матриці A називається многочлен від її елементів заданий як:

$\operatorname {pf} (A)={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (2i-1),\sigma (2i)}$

де S_2n позначає симетричну групу порядок якої є рівним (2n)!, а sgn(σ) є знаком перестановки σ.

Еквівалентно, якщо $\Pi$ позначає множину всіх розбиттів множини $\{1,2,\dots ,2n\}$ на невпорядковані пари (всього існує $(2n-1)!!$ таких розбиттів), то кожне $\alpha \in \Pi$ може бути записано як

$\alpha =\{(i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2}),\cdots ,(i_{n},j_{n})\},$

де $i_{k}<j_{k}$ і $i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}$. Нехай

$\pi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n\\i_{1}&j_{1}&i_{2}&j_{2}&\cdots &j_{n}\end{bmatrix}}$

позначає відповідну перестановку, а ${\mbox{sgn}}(\alpha )$ — знак перестановки $\pi$.

Для розбиття $\alpha$ визначимо

$A_{\alpha }=\operatorname {sgn} (\alpha )a_{i_{1},j_{1}}a_{i_{2},j_{2}}\cdots a_{i_{n},j_{n}}.$

Пфаффіан матриці A є рівним:

$\operatorname {Pf} (A)=\sum _{\alpha \in \Pi }A_{\alpha }.$

Пфаффіан кососиметричної матриці розміру $n\times n$ для непарного n за означенням дорівнює нулю.

Рекурсивне означення

Пфаффіан матриці розміру $0\times 0$ вважається рівним 1; пфаффіан кососиметричної матриці A розміру $2n\times 2n$ при $n>0$ може бути означений рекурсивно:

$\operatorname {Pf} (A)=\sum _{{j=1} \atop {j\neq i}}^{2n}(-1)^{i+j+1+\theta (i-j)}a_{ij}\operatorname {Pf} (A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}),$

де індекс $i$ може бути обраний довільно, $\theta (ij)$ — функція Гевісайда, а $A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}$ позначає матрицю A без i-тих і j-тих рядків і стовпців.

Альтернативне означення

Для $2n\times 2n$ кососиметричної матриці $A=\{a_{ij}\}$ розглянемо бівектор:

$\omega =\sum _{i<j}a_{ij}\;e_{i}\wedge e_{j}.$

де $\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{2n}\}$ є стандартний базис в $\mathbb {R} ^{2n}$. Тоді пфаффіан визначається таким рівнянням:

${\frac {1}{n!}}\omega ^{\wedge n}={\mbox{Pf}}(A)\;e_{1}\wedge e_{2}\wedge \dots \wedge e_{2n},$

де $\omega ^{\wedge n}$ позначає зовнішній добуток n копій $\omega$.

Властивості

Для $2n\times 2n$ кососиметричної матриці $A$ і для довільної $2n\times 2n$ матриці $B$:

• ${\mbox{Pf}}(A)^{2}=\det(A)$

• ${\mbox{Pf}}(BAB^{T})=\det(B){\mbox{Pf}}(A)$

Позначимо ${\bar {A}}=BAB^{T}.$ За означенням добутку матриць ${\bar {a}}_{ij}=(BAB^{T})_{ij}=\sum _{k,l=1}^{2n}b_{ik}b_{jl}a_{kl}.$ Тому

$\operatorname {pf} (BAB^{T})={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}{\bar {a}}_{\sigma (2i-1),\sigma (2i)}={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}\left(\sum _{k,l=1}^{2n}b_{\sigma (2i-1),k}b_{\sigma (2i),l}a_{kl}\right)$

Нехай тепер $\varphi$ позначає довільне відображення із множини $\{1,2,\ldots ,2n\}$ у себе (не обов'язково перестановку). Розписавши попередній вираз одержуємо, що

${\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}\left(\sum _{k,l=1}^{2n}b_{\sigma (2i-1),k}b_{\sigma (2i),l}a_{kl}\right)={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\varphi }\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}b_{\sigma (2i-1),\varphi (2i-1)}b_{\sigma (2i),\varphi (2i)}a_{\varphi (2i-1),\varphi (2i)}.$

Але для кожного конкретного відображення $\varphi$ вираз $\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}b_{\sigma (2i-1),\varphi (2i-1)}b_{\sigma (2i),\varphi (2i)}$ є рівним $\det B_{\varphi },$ де $B_{\varphi }$ є матрицею розмірності $2n\times 2n$ для якої i-ий стовпець є $\varphi (i)$-стовпцем матриці $B.$ Тому якщо $\varphi$ не є перестановкою, деякі стовпці є однаковими і відповідний визначник є рівним нулю. В іншому випадку $\det B_{\varphi }=\operatorname {sgn}(\varphi )\det B.$ Таким чином:

${\mbox{Pf}}(BAB^{T})=\det(B)\cdot {\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\varphi \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\varphi )\prod _{i=1}^{n}a_{\varphi (2i-1),\varphi (2i)}=\det(B){\mbox{Pf}}(A).$

• ${\mbox{Pf}}(\lambda A)=\lambda ^{n}{\mbox{Pf}}(A)$

• ${\mbox{Pf}}(A^{T})=(-1)^{n}{\mbox{Pf}}(A)$

• Для блок-діагональної матриці

${\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{bmatrix}}={\mbox{Pf}}(A_{1}){\mbox{Pf}}(A_{2}).$

• Для довільної $n\times n$ матриці $M$:

${\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&M\\-M^{T}&0\end{bmatrix}}=(-1)^{n(n-1)/2}\det M.$

Див. також

• Визначник
• Кососиметрична матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
• Ланкастер П. Теория матриц. — Москва : Наука, 1973. — 280 с.(рос.)
• Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
• Godsil, Chris D. (1993). Algebraic Combinatorics. New York: Chapman and Hall. ISBN 0-412-04131-6. MR 1220704.