Півторалінійна форма

Півторалінійна форма — функція f(x, y) від двох векторів векторного простору V над полем $\mathbb {C}$ sp значеннями в цьому полі, якщо вона є лінійною як функція x при кожному фіксованому y і напівлінійною як функція y при кожному фіксованому x. Вимога напівлінійності по y означає, що виконані такі умови:

• $f(x,y_{1}+y_{2})=f(x,y_{1})+f(x,y_{2})\ \ \forall x,y_{i}\in V,$
• $f(x,\alpha y)={\overline {\alpha }}f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} .$

Півторалінійна форма f(x,y) називається ермітовою, якщо для неї виконується умова

• $f(x,y)={\overline {f(y,x)}}\ \ \forall x,y\in V.$

Властивості

При виборі довільного базиса $e_{1},\ldots ,e_{n}$ простору V півторалінійна форма записується у виді

$f(x,y)=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}\,x_{i}{\overline {y}}_{j},\ \ \ a_{ij}=f(e_{i},e_{j}),$

де $x=x_{1}e_{1}+\cdots +x_{n}e_{n}$ и $y=y_{1}e_{1}+\cdots +y_{n}e_{n}$.

Див. також

• Білінійна форма
• Лінійна форма
• Ермітова форма

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)
• Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.