Середнє арифметико-геометричне

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Середнє арифметико-геометричне — це спільна границя двох послідовностей, середньої арифметичної та середньої геометричної двох заданих чисел a та b.

Доведення[ред.ред. код]

Нехай нам задано два додатніх числа a та b, причому (). Складемо їх середнє арифметичне та середнє геометричне.

Відомо, що перше середнє більше за друге:

В той же час, вони містяться між заданими числами:

Якщо числа та вже визначені, то та визначаються за формулами:

і, як і вище,

Таким чином складаються дві варіанти та , перша з яких є спадною, а інша зростаючою (на зустріч одна одній). В той же час

Так що обидві варіанти обмежені, і відповідно, обидві прямують до кінцевих границь.

Якщо в рівнянні

перейти до границь, то отримаємо

звідкіля

Таким чином, обидві послідовності прямують до спільної границі

Література[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.