Середнє арифметико-геометричне

Середнє арифметико-геометричне — це спільна границя двох послідовностей, середньої арифметичної та середньої геометричної двох заданих чисел a та b.

Доведення

Нехай нам задано два додатних числа a та b, причому ($a>b$). Утворимо їх середнє арифметичне та середнє геометричне.

$a_{1}={\tfrac {a+b}{2}},\qquad b_{1}={\sqrt {ab}}$

Відомо, що перше середнє більше за друге:

${\tfrac {a+b}{2}}-{\sqrt {ab}}={\tfrac {1}{2}}(a-2{\sqrt {ab}}+b)={\tfrac {({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})^{2}}{2}}>0$

В той же час, вони містяться між заданими числами:

$\ a>a_{1}>b_{1}>b$

Якщо числа $a_{n}$ та $b_{n}$ вже визначені, то $a_{n+1}$ та $b_{n+1}$ визначаються за формулами:

$a_{n+1}={\tfrac {a_{n}+b_{n}}{2}},\qquad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}$

і, як і вище, $a_{n}>a_{n+1}>b_{n+1}>b_{n}$

Таким чином складаються дві варіанти $a_{n}$ та $b_{n}$, перша з яких є спадною, а інша зростаючою (на зустріч одна одній). В той же час

$\ a>a_{n}>b_{n}>b$

Так що обидві варіанти обмежені, і відповідно, обидві прямують до кінцевих границь.

$\alpha =\lim a_{n},\qquad \beta =\lim b_{n}$

Якщо в рівнянні

$a_{n+1}={\tfrac {a_{n}+b_{n}}{2}}$

перейти до границь, то отримаємо

$\alpha ={\tfrac {\alpha +\beta }{2}}$

звідкіля

$\ \alpha =\beta$

Таким чином, обидві послідовності прямують до спільної границі $\mu (a,b)$

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)