Середнє арифметико-геометричне

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Середнє арифметико-геометричне — це спільна границя двох послідовностей, середньої арифметичної та середньої геометричної двох заданих чисел a та b.

Доведення[ред.ред. код]

Нехай нам задано два додатніх числа a та b, причому (a > b). Складемо їх середнє арифметичне та середнє геометричне.

a_1=\tfrac{a+b}{2}, \qquad b_1=\sqrt{ab}

Відомо, що перше середнє більше за друге:

\tfrac{a+b}{2} - \sqrt{ab} = \tfrac{1}{2}(a-2\sqrt{ab}+b)=\tfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{2} > 0

В той же час, вони містяться між заданими числами:

\ a > a_1 > b_1 > b

Якщо числа a_n та b_n вже визначені, то a_{n+1} та b_{n+1} визначаються за формулами:

a_{n+1}=\tfrac{a_n + b_n}{2}, \qquad b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}

і, як і вище,  a_n > a_{n+1} > b_{n+1} > b_n

Таким чином складаються дві варіанти a_n та b_n, перша з яких є спадною, а інша зростаючою (на зустріч одна одній). В той же час

\ a > a_n > b_n > b

Так що обидві варіанти обмежені, і відповідно, обидві прямують до кінцевих границь.

\alpha = \lim a_n, \qquad \beta = \lim b_n

Якщо в рівнянні

a_{n+1} = \tfrac{a_n + b_n}{2}

перейти до границь, то отримаємо

\alpha = \tfrac{\alpha + \beta}{2}

звідкіля

\ \alpha = \beta

Таким чином, обидві послідовності прямують до спільної границі \mu(a,b)

Література[ред.ред. код]