Розподіл Рейлі

Розподіл Рейлі - це розподіл імовірностей випадкової величини $\displaystyle X$ із щільністю

$f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),x\geqslant 0,\sigma >0,$

де $\displaystyle \sigma$ - параметр масштабу. Відповідна функція розподілу має вид

${\mathsf {P}}(X\leqslant x)=\int \limits _{0}^{x}f(\xi )\,d\xi =1-\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),x\geqslant 0.$

Уведено вперше в 1880 р. Джоном Вільямом Стреттом (лордом Рэлеем)у зв'язку з задачею додавання гармонійних коливань з випадковими фазами.
Щільність розподілу

Функція розподілу

Застосування

• У задачах про пристрілювання гармат. Якщо відхилення від мети для двох взаємно перпендикулярних напрямків нормально розподілені і некоррелированы, координати мети збігаються з початком координат, то позначивши розкид по осях за $X$ і $Y$, вираження для величини промаху має вид $R={\sqrt {{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}$. У цьому випадку величина $R$ має розподіл Рэлея.
• У радіотехніку для опису амплітудних флуктуацій радіосигналу.
• Щільність розподілу випромінювання абсолютно чорного тіла по частотах.

Зв'язок з іншими розподілами

• Якщо ${X}$ і ${Y}$ - незалежні гауссовские випадкові величини нульові математичні чекання, що мають, і однакові дисперсії ${{\sigma }^{2}}$, те випадкова величина $Z={\sqrt {{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}$ має розподіл Рэлея.
• Якщо незалежні гаусовскі випадкові величини ${X}$ і ${Y}$ мають ненульові математичні чекання, у загальному випадку нерівні, то розподіл Рэлея переходить у розподіл Райса.
• Щільність розподілу квадрата рейлівскої величини з ${\sigma =1}$ має розподіл хі-квадрат із двома ступенями волі.

Див. також

• Розподіл хі-квадрат
• Розподіл Райса