Лема про вкладені відрізки: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
формулювання леми відносно відрізків |
|||
Рядок 40: | Рядок 40: | ||
</center> |
</center> |
||
тобто, за умовами рівна 0, так що <math>c^' = c</math>, що і треба було довести. |
тобто, за умовами рівна 0, так що <math>c^' = c</math>, що і треба було довести. |
||
==Класичне формулювання== |
|||
Доведеному твердженню можна придати іншу форму, в якому воно частіше застосовується. |
|||
Назвемо проміжком [a,b] (де a < b) множину всіх чисел x, що задовольняють нерівностям |
|||
<math>a \le x \le b</math>. |
|||
Числа (або "точки") a та b називаються, відповідно, лівим та правим кінцями проміжка, а їх різниця b - a - довжиною проміжка. Неважко бачити, що на [[Числова_вісь|числовій вісі]] проміжку відповідає відрізок (тої ж довжини). |
|||
Домовимося говорити, що відрізок <math>[a^',b^']</math> міститься в відрізку [a,b], або вкладений в ньго, якщо всі точки першого відрізка належать іншому, або, що теж саме, якщо |
|||
<center> |
|||
<math>a \le a^' \le b^' \le b</math> |
|||
</center> |
|||
''Нехай існує нескінченна послідовність вкладених один в одний відрізків'' <math>[a_1, b_1], [a_2, b_2], ..., [a_n, b_n], ...,</math> ''так, що кожний наступний міститься в попередньому, при чому довжина цих відрізків прямує до 0 зі зростанням n:'' |
|||
<math>\lim (b_n - a_n) = 0</math> |
|||
''Тоді кінці'' <math>a_n</math> ''та'' <math>b_n</math> ''відрізків (з різних боків) прямують до спільної границі'' |
|||
<math>c = \lim a_n = \lim b_n</math>, |
|||
''що являє собою єдину точку, загальну для всіх проміжків.'' |
|||
== Джерела == |
== Джерела == |
Версія за 18:08, 5 червня 2011
Лема про вкладені відрізки
Загальне формулювання
Нехай існують монотонно зростаюча послідовність дійсних чисел та монотонно спадна послідовність , причому завжди
. (Посилання 1)
Якщо їх різниця пямує до 0, тоді обидві послідовністі мають спільну границю:
Допоміжна теорема для доведення
Якщо варіанти та мають кінцеві границі:
, ,
то і сума (різниця) їх також мають кінцеву границю, причому
Доведення
З умови теореми випливає, що
, , (посилання 2)
де , - нескінченно малі. Тоді
Тут є нескінченно мала по лемі 2. Тоді, користуючись визначенням границі, можна стверджувати, що варіанта має границю, що дорівнює , що і потрібно було довести.
Доведення
Дійсно, при всіх значеннях n маємо: , а значить, зважаючи на (1), і . Зростаюча змінна виявляється обмеженою згори, відповідно, вона має кінцеву границю .
Аналогічно, для спадної змінної будемо мати , так що і вона прямує до кінцевою границі .
Але, відповідно до допоміжної теореми, різниця обох границь
тобто, за умовами рівна 0, так що , що і треба було довести.
Класичне формулювання
Доведеному твердженню можна придати іншу форму, в якому воно частіше застосовується.
Назвемо проміжком [a,b] (де a < b) множину всіх чисел x, що задовольняють нерівностям . Числа (або "точки") a та b називаються, відповідно, лівим та правим кінцями проміжка, а їх різниця b - a - довжиною проміжка. Неважко бачити, що на числовій вісі проміжку відповідає відрізок (тої ж довжини).
Домовимося говорити, що відрізок міститься в відрізку [a,b], або вкладений в ньго, якщо всі точки першого відрізка належать іншому, або, що теж саме, якщо
Нехай існує нескінченна послідовність вкладених один в одний відрізків так, що кожний наступний міститься в попередньому, при чому довжина цих відрізків прямує до 0 зі зростанням n:
Тоді кінці та відрізків (з різних боків) прямують до спільної границі
,
що являє собою єдину точку, загальну для всіх проміжків.
Джерела
Г.М. Фихтенгольц. КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ТОМ 1. Издание седьмое, стереотипное. Издательство "НАУКА". Москва 1969