Теорема Бруна — Тічмарша

Теорема Бруна — Тічмарша — твердження аналітичної теорії чисел, яке визначає верхню межу розподілу арифметичної прогресії простих чисел. Названа на честь математиків Віґґо Бруна та Едварда Чарльза Тічмарша.

Теорема стверджує, що якщо $\pi (x;q,a)$ дорівнює кількості простих чисел $p$, порівнюваних з $a$ за модулем $q$ при $p\leq x$, то:

$\pi (x;q,a)\leqslant {2x \over \varphi (q)\log(x/q)}$

для всіх $q<x$.

Історія

Теорему доведено за допомогою методу просіювання Діном Монтгомері та Дороті Воном 1973 року. Результат Бруна та Тічмарша, створений раніше, є слабшою версією цієї нерівності (з додатковим множником $1+o(1)$).

Посилення

Якщо $q$ відносно мале, тобто, $q\leqslant x^{9/20}$, то існує краща границя:

$\pi (x;q,a)\leqslant {(2+o(1))x \over \varphi (q)\ln(x/q^{3/8})}$.

Це показав Мотохасі, використавши білінійну структуру у залишковому члені решета Сельбергу, яку було відкрито ним же. Пізніше ідея використання структур у залишковому члені решета, завдяки розширенням комбінаторного решета Генриком Іванцем, була розвинена до основного методу аналітичної теорії чисел.

Порівняння з теоремою Діріхлє

На відміну від теореми Бруна — Тічмарша теорема Діріхле про арифметичні прогресії дає асимптотичну оцінку, яку можна представити у вигляді:

$\pi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\log x}}\right)}\right)$,

але ця оцінка може бути доведена лише при сильніших обмеженнях на $q<(\log x)^{c}$ і для константи $c$, і це теорема Зігеля—Волфіця.

Література

• Yoichi Motohashi. Sieve Methods and Prime Number Theory. — Tata IFR and Springer-Verlag, 1983. — ISBN 3-540-12281-8.
• Christopher Hooley. Applications of sieve methods to the theory of numbers. — Cambridge University Press, 1976. — С. 10. — ISBN 0-521-20915-3.
• H. Mikawa. Encyclopedia of Mathematics. — Springer. — ISBN 978-1-55608-010-4.
• H. L. Montgomery, R. C. Vaughan. The large sieve // Mathematika. — 1973. — Т. 20. — С. 119—134. — doi:10.1112/s0025579300004708.