Теорема Хартогса

Теорема Хартогса — твердження у комплексному аналізі про те, що у випадку коли комплексна функція багатьох комплексних змінних буде аналітичною за кожним зі своїх аргументів, то вона також буде аналітичною загалом.

Твердження

Нехай $\Omega \subseteq \mathbb {C} ^{n}$ — відкрита множина, $a_{1},\dots a_{n}\in \mathbb {C}$ деякі числа. Позначимо $\Omega _{j,a}:=\left\{z\in \mathbb {C} \,:\,(a_{1},\dots ,a_{j-1},z,a_{j+1},\dots ,a_{n})\in \Omega \right\}\subseteq \mathbb {C} .$ Для функції $f:\Omega \rightarrow \mathbb {C}$ можна визначити функції $f_{j,a}:\Omega _{j,a}\rightarrow \mathbb {C}$ дія яких визначається $z\mapsto f(a_{1},\dots ,a_{j-1},z,a_{j+1},\dots ,a_{n})$.

При цих позначеннях, якщо $\forall \,a_{1},\dots a_{n}\in \mathbb {C} ,\;\forall \,j\in \mathbb {N} :1\leq j\leq n$ функції $f_{j,a}:\Omega _{j,a}\rightarrow \mathbb {C}$ є аналітичними, то і функція $f:\Omega \rightarrow \mathbb {C}$ є аналітичною.

Доведення

Згідно леми Осґуда достатньо довести, що функція, яка є голоморфною окремо по кожній змінній є неперервною. Лема тоді гарантує загальну голоморфність. Неперервність достатньо довести для відкритого полікруга з центром у довільній точці. Після заміни координат можна вважати, що цією точкою є (0, 0, ..., 0) і тоді замкнутий полікруг мультирадіуса $r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ за означенням є множиною $B_{r}:=\{z:|z_{i}|\leqslant r_{i}\}$ де $z:=(z_{1},\ldots ,z_{n})$.

Лема

Нехай полікруг $B_{r}$ є підмножиною області $\Omega$ у якій функція $f$ є голоморфною по кожній окремій змінній. Існує комплексне число $\xi$ таке, що $|\xi |<r_{1}$ і дійсне число $\rho >0$ таке, що круг $|z-\xi |\leqslant \rho$ є підмножиною відкритого круга $|z|<r_{1}$, що функція $f$ є обмеженою у полікрузі, що визначається умовами $|z_{1}-\xi |\leqslant \rho$ і $|z_{i}|\leqslant r_{i}$ для $i\in 2,\ldots ,n.$

Доведення

Твердження є правильним для випадку однієї змінної адже голоморфна у крузі функція є у ньому неперервною. Тому можна доведення здійснювати з використанням методу математичної індукції.

Для випадку $n$ змінних у крузі $|z|\leqslant r_{1}$ можна ввести функцію $a(z)=\max _{|z_{i}|\leqslant r_{i},\ i\geqslant 2}|f(z,z_{2},\ldots ,z_{n})|$. Для кожного окремого $z$ максимум береться для функції від $n-1$ змінної, що є голоморфною по кожному аргументу окремо. Згідно припущення індукції ця функція є неперервною. Відповідно її модуль є неперервною дійсною функцією і вона досягає свого максимуму на замкнутому полікрузі від $n-1$ змінної, що є компактною множиною.

Нехай $\lambda _{N}:=\{z:|z|\leqslant r_{1}\ \land \ a(z)\leqslant N\}.$ Тоді $\{z:|z|\leqslant r_{1}\}=\cup _{N=1}^{\infty }\lambda _{N}$ і множини $\lambda _{N}$ є замкнутими. Останнє твердження випливає з того, що якщо $\eta _{i}\in \lambda _{N}$ і $\lim _{i\to \infty }\eta _{i}=\eta$ то $|\eta |\leqslant r_{1}$ і $a(\eta )=\max _{|z_{i}|\leqslant r_{i},\ i\geqslant 2}|f(\eta ,z_{2},\ldots ,z_{n})|=f(\eta ,{\bar {z}}_{2},\ldots ,{\bar {z}}_{n})$ для певних комплексних чисел ${\bar {z}}_{i}$. Тоді функція $f(z,{\bar {z}}_{2},\ldots ,{\bar {z}}_{n})$ є голоморфною і відповідно неперервною функцією однієї змінної. Тому $f(\eta ,{\bar {z}}_{2},\ldots ,{\bar {z}}_{n})=\lim _{i\to \infty }f(\eta _{i},{\bar {z}}_{2},\ldots ,{\bar {z}}_{n})\leqslant N.$ Відповідно і $\eta \in \lambda _{N}.$

З теореми Бера про категорії випливає, що якась із множин $\lambda _{N}$ має внутрішню точку $\xi$ і звідси також замкнутий круг $\{z:|z-\xi |\leqslant \rho \}\subset \lambda _{N}$. Тоді за означеннями всюди у полікрузі, що визначається умовами $|z_{1}-\xi |\leqslant \rho$ і $|z_{i}|\leqslant r_{i}$ для $i\in 2,\ldots ,n$ виконується нерівність $f(z_{1},\ldots ,z_{n})\leqslant N,$ що доводить лему.

Доведення теореми Хартогса

Теорема Хартогса є справедливою для функції однієї змінної де голоморфні функції є неперервними. Тому знову можна використати метод математичної індукції. Також теорему достатньо довести у полікрузі з центром у точці (0, 0, ..., 0) для функцій, що задовольняють умови леми.

Додатково за допомогою елементарних перетворень координат, що не змінюють факт неперервності функцій можна вважати, що всі $r_{i}=1$, а також за допомогою множення функції на константу, що функціяна полікрузі з умови леми обмежена значенням 1.

Також за допомогою перетворення ${\textstyle {\frac {\xi -z}{1-{\bar {\xi }}z}}}$ можна вважати, що $\xi$ з твердження леми є рівним 0. Відповідно функція $f$ є неперервною на полікрузі $B_{\rho ,1}:=\{z:|z_{1}|\leqslant \rho ,\ |z_{2}|\leqslant 1,\ldots ,|z_{n}|\leqslant 1\}.$

Нехай $z^{0}=(z_{1}^{0},\ldots ,z_{n}^{0})$ і $z^{1}=(z_{1}^{1},\ldots ,z_{n}^{1})$ є внутрішніми точками у полікрузі $B_{\rho ,1}.$ Тоді:

$|f(z^{1})-f(z^{0})|\leqslant |f(z_{1}^{1},z_{2}^{1},\ldots ,z_{n}^{1})-f(z_{1}^{0},z_{2}^{1},\ldots ,z_{n}^{1})|+|f(z_{1}^{0},z_{2}^{1},\ldots ,z_{n}^{1})-f(z_{1}^{0},z_{2}^{0},\ldots ,z_{n}^{1})|+\ldots +|f(z_{1}^{0},z_{2}^{0},\ldots ,z_{n}^{1})-f(z_{1}^{0},z_{2}^{0},\ldots ,z_{n}^{0})|$

З інтегральної теореми Коші випливає, що:

$|f(z_{1}^{0},\ldots ,z_{i}^{1},\ldots ,z_{n}^{1})-f(z_{1}^{0},\ldots ,z_{i}^{0},\ldots ,z_{n}^{1})|\leqslant \left|2\pi \int {\frac {f(z)}{1-z_{i}^{1}}}dz-2\pi \int {\frac {f(z)}{1-z_{i}^{0}}}dz\right|=2\pi \left|\int {\frac {f(z)(z_{i}^{1}-z_{i}^{0})}{(1-z_{i}^{1})(1-z_{i}^{0})}}dz\right|\leqslant {\frac {|z_{i}^{1}-z_{i}^{0}|}{(1-|z_{i}^{1}|)(1-|z_{i}^{0}|)}}.$

Інтеграли у цих нерівностях є лінійним інтегралом но одиничному колі. По першій змінній натомість інтеграл потрібно брати по колу радіуса $\rho$ і відповідна нерівність тоді буде:

$|f(z_{1}^{1},\ldots ,z_{n}^{1})-f(z_{1}^{0},\ldots ,z_{n}^{1})|\leqslant {\frac {|z_{1}^{1}-z_{1}^{0}|}{(\rho -|z_{1}^{1}|)(\rho -|z_{1}^{0}|)}}.$

Сумарно враховуючи всі нерівності:

$|f(z^{1})-f(z^{0})|\leqslant {\frac {|z_{1}^{1}-z_{1}^{0}|}{(\rho -|z_{1}^{1}|)(\rho -|z_{1}^{0}|)}}+{\frac {|z_{2}^{1}-z_{2}^{0}|}{(1-|z_{2}^{1}|)(1-|z_{2}^{0}|)}}+\ldots +{\frac {|z_{n}^{1}-z_{n}^{0}|}{(1-|z_{n}^{1}|)(1-|z_{n}^{0}|)}}$

Коли $z^{1}$ прямує до $z^{0}$ то чисельники доданків у правій стороні нерівності прямують до нуля, а знаменники до деяких додатних чисел. Тому права і, відповідно, ліва сторони прямують до нуля. Тобто якщо $z^{1}$ прямує до $z^{0}$ то і $f(z^{1})$ прямує до $f(z^{0})$. Відповідно функція є неперервною у точці $z^{0}$, а з довільності вибору цієї точки випливає її неперервність у полікрузі $B_{\rho ,1}.$

Зафіксувавши точки $z_{2},\ldots ,z_{n},\ |z_{i}|<1$ можна функція однієї комплексної змінної $f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})$ є голоморфною і можна запмсати розклад у ряд Тейлора:

$f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})=\sum _{i=0}^{\infty }f_{k}(z_{2},\ldots ,z_{n})z_{1}^{k},\ \forall |z_{1}|\leqslant 1.$

Якщо $|z_{1}|<\rho$, то $(z_{1},\ldots ,z_{n})$ належить полікругу $B_{\rho ,1}$ в якому функція є неперервною. Тоді із інтегральних формул Коші для коефіцієнтів ряду Тейлора:

$f_{k}(z_{2},\ldots ,z_{n})=\int _{|\xi |=r<\rho }{\frac {f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}{\xi ^{k+1}}}d\xi .$

У правій стороні можна міняти місцями диференціювання по будь-якій змінній $z_{i}$ і інтегрування. Відповідно функції є голоморфними по кожній окремій змінній і згідно припущення індукції також є неперервними і відповідно голоморфними загалом.

Для неперервності суми ряду $f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})=\sum _{i=0}^{\infty }f_{k}(z_{2},\ldots ,z_{n})z_{1}^{k}$ достатньо довести, що ряд збігається рівномірно на компактних підмножинах.

Оскільки по першому аргументу $f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})$ є голоморфною у деякій області, що містить одиничний круг, то її радіус збіжності степеневого ряду є більшим одиниці і з теореми Коші — Адамара випливають нерівності:

${\varlimsup \limits _{k\rightarrow \infty }}\,|f_{k}(z_{2},\ldots ,z_{n})|^{1/k}<1$

Також із виразу цих значень із інтегральних формул Коші випливають нерівності:

$|f_{k}(z_{2},\ldots ,z_{n})|<{\frac {1}{\rho ^{k}}}.$

Нехай $\Lambda :=\{(z_{2},\ldots ,z_{n}):|z_{k}|=1\}$ — кістяк полікруга від $n-1$ змінної і $\Lambda _{k}:=\{(z_{2},\ldots ,z_{n})\in \Lambda :|f_{k}(z_{2},\ldots ,z_{n})|>1\}$.

Множини $\Lambda _{k}$ є відкритими підмножинами у $\Lambda .$ Також якщо позначити $V(\Lambda _{k})$ — об'єм відповідної множини, то $\lim _{k\to \infty }V(\Lambda _{k})=0.$ Справді, якщо позначити ${\mathcal {Q}}_{k}=\cup _{j=k}^{\infty }\Lambda _{j}$ то ${\mathcal {Q}}_{k}\supset {\mathcal {Q}}_{k+1}$ і тому $0=V(\emptyset )=V(\cap _{j}{\mathcal {Q}}_{j})=\lim _{j\to \infty }V({\mathcal {Q}}_{j})$. Оскільки $\Lambda _{k}\subset {\mathcal {Q}}_{k}$ то $\lim _{k\to \infty }V(\Lambda _{k})=0.$

Оскільки функції $f_{k}(z_{2},\ldots ,z_{n})$ є голоморфними то функція $\log |f_{k}(z_{2},\ldots ,z_{n})|$ є субгармонічною як функція для кожної пари дійсних аргументів, що відповідають кожній комплексній змінній. Нехай у показниковому записі фіксовані комплексні числа рівні $z_{j}=r_{j}e^{i\theta _{j}}$ і для всіх $r_{j}\leqslant r<1$. Повторно для кожної такої змінної записавши нерівність з означення субгармонічної функції і використавши запис гармонічної функції як розв'язку задачі Діріхле для рівняння Лапласа у крузі зрештою одержуються нерівності:

${\frac {1}{k}}\log |f_{k}(z_{2},\ldots ,z_{n})|\leqslant {\frac {1}{k(2\pi )^{n-1}}}\int \cdots \int _{\Lambda }\prod _{j=2}^{n}{\frac {(1-r_{j}^{2})\log |f_{k}(e^{i\theta _{2}},\ldots ,e^{i\theta _{2}})|}{1-2r_{j}\cos(\phi _{j}-\theta _{j})+r_{j}^{2}}}d\theta _{2}\ldots d\theta _{n}\leqslant {\frac {1}{k(2\pi )^{n-1}}}\int \cdots \int _{\Lambda _{k}}\prod _{j=2}^{n}{\frac {(1-r_{j}^{2})\log |f_{k}(e^{i\theta _{2}},\ldots ,e^{i\theta _{2}})|}{1-2r_{j}\cos(\phi _{j}-\theta _{j})+r_{j}^{2}}}d\theta _{2}\ldots d\theta _{n}.$

Використовуючи нерівності:

${\frac {1-r_{j}^{2}}{1-2r_{j}\cos(\phi _{j}-\theta _{j})+r_{j}^{2}}}\leqslant {\frac {1-r_{j}^{2}}{(1-r_{j})^{2}}}={\frac {1+r_{j}}{1-r_{j}}}\leqslant {\frac {1+r}{1-r}}$

зрештою одержуємо:

${\frac {1}{k}}\log |f_{k}(z_{2},\ldots ,z_{n})|\leqslant {\frac {1}{(2\pi )^{n-1}}}\left({\frac {k\log 1/\rho }{k}}\right)\left({\frac {1+r}{1-r}}\right)^{n-1}\int \cdots \int _{\Lambda _{k}}d\theta _{2}\ldots d\theta _{n}={\frac {1}{(2\pi )^{n-1}}}\log {\frac {1}{\rho }}\left({\frac {1+r}{1-r}}\right)^{n-1}V(\Lambda _{k}).$

Відповідно для довільного $\varepsilon >0$ існує для всіх достатньо великих $k$ виконується нерівність

${\frac {1}{k}}\log |f_{k}(z_{2},\ldots ,z_{n})|\leqslant \varepsilon \log {\frac {1}{\rho }}=\log {\frac {1}{\rho ^{\varepsilon }}}.$

Звідси для достатньо великих $k$ і $|z_{j}|\leqslant r,\ j=2,\ldots ,n$:

$|f_{k}(z_{2},\ldots ,z_{n})|\leqslant {\frac {1}{\rho ^{\varepsilon k}}}.$

Як наслідок степеневий ряд рівномірно сходиться для будь-яких $|z_{j}|\leqslant r<1,\ j=2,\ldots ,n$ і $|z_{1}|\leqslant s<\rho ^{\varepsilon }<1$. Але вибираючи $r$ і $\rho ^{\varepsilon }$ (за рахунок вибору як завгодно малого $\varepsilon >0$) як завгодно близькими до 1 одержуємо, що ця рівномірна збіжність матиме місце у множинах, що містять будь-яку компактну підмножину відкритого полікруга. Тобто степеневий ряд збігається рівномірно на будь-якій компактній підмножині відкритого полікруга і тому гранична функція буде неперервною у відкритому полікрузі.

Див. також

• Лема Осґуда

Література

• Lipman Bers (1964). Introduction to Several Complex Variables. Courant Institute of Mathematical Sciences.
• Steven G. Krantz: Function Theory of Several Complex Variables. AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island 1992.