Теорема Хартогса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Хартогса — твердження у комплексному аналізі про те, що у випадку коли комплексна функція багатьох комплексних змінних буде аналітичною за кожним зі своїх аргументів, то вона також буде аналітичною загалом.

Твердження[ред.ред. код]

Нехай \Omega \subseteq \mathbb{C}^nвідкрита множина, a_1, \dots a_n \in \mathbb{C} деякі числа. Позначимо \Omega_{j,a} := \left\{z \in \mathbb{C} \,:\, (a_1,\dots,a_{j-1},z,a_{j+1},\dots,a_n) \in \Omega \right\} \subseteq \mathbb{C}. Для функції f : \Omega \rightarrow \mathbb{C} можна визначити функції f_{j,a} : \Omega_{j,a} \rightarrow \mathbb{C} дія яких визначається z \mapsto f (a_1,\dots,a_{j-1},z,a_{j+1},\dots,a_n).

При цих позначеннях, якщо \forall \, a_1, \dots a_n \in \mathbb{C}, \; \forall \, j \in \mathbb{N}: 1 \leq j \leq n функції f_{j,a} : \Omega_{j,a} \rightarrow \mathbb{C} є аналітичними, то і функція f:\Omega \rightarrow \mathbb{C} є аналітичною.

Література[ред.ред. код]

  • Steven G. Krantz: Function Theory of Several Complex Variables. AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island 1992.