Відкрита множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Відкри́та множина́ — в математичному аналізі, геометрії — це множина, кожна точка якої входить в неї разом з деяким околом. Відкрита множина є фундаментальним поняттям загальної топології. Відкрита множина це абстрактне поняття, яке узагальнює ідею відкритого проміжку на осі дійсних чисел. Найпростіший приклад відноситься до метричних просторів, де відкриту множину можна визначити як таку множину, яка містить шар довкола кожної точки, що належить множині (або, еквівалентно, множина буде відкритою, якщо вона не містить точок межі).

Евклідовий простір[ред. | ред. код]

Підмножина евклідового простору називається відкритою, якщо:

де — ε-окіл точки

Іншими словами, множина є відкритою, якщо кожна її точка є внутрішньою.

Метричний простір[ред. | ред. код]

Якщо — деякий метричний простір, і . Тоді є відкритою, якщо:

, де ε-окіл точки відносно метрики .

Топологічний простір[ред. | ред. код]

Якщо топологічний простір, де топологія, визначена на , то за визначенням топологічного простору будь-яка підмножина , що є елементом топології, тобто , буде відкритою множиною відносно цієї топології.

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]