English: The figure shows an example of the study of a three-dimensional
dynamical system described by a nonlinear system of ordinary differential equations
[1], by solving the equations using numerical method
[2], with the presentation of the results in a visual graphical form:
- graph of dependence of one of the variables describing the system on time for different values of system parameter
- image of the phase trajectory for various values of the system parameter
- 3D image of the phase trajectory (click on image)
- plot of Lyapunov exponents dependence on system parameter
Considering the values of the Lyapunov exponents, it can be seen, that for first value of the system parameter (
c1=0.8) the phase trajectory of the system is a closed curve (
limit cycle), since the largest Lyapunov exponent is zero and the rest are negative, i.e. the system oscillates periodically. For another parameter value (
c1=2.5) the oscillations of the system are
chaotic, and the phase trajectory tends to a
strange attractor (the largest Lyapunov exponent is positive, their sum is negative)
Українська: На малюнку зображений приклад дослідження тривимірної
динамічної системи, яка описується системою нелінійних диференціальних рівнянь
[1], за допомогою рішення рівнянь чисельним методом
[2], з наданням результатів у наочному вигляді:
- графік залежності однієї з змінних, які описують систему, від часу для різних значень параметра системи
- зображення фазової траекторії для різних значень параметра системи
- тривимірне зображення фазової траекторії (клацніть мишкою на зображенні)
- графік залежності показників Ляпунова від параметра системи
З огляду на значення показників Ляпунова можна побачити, що для одного зі значень параметра системи (
c1=0.8) фазова траекторія системи - замкнута крива, або
граничний цикл (оскільки найбільший показник Ляпунова дорівнює нулю, а інші - від'ємні), тобто система здійснює періодичні коливання. Для іншого значення параметра (
c1=2.5) коливання системи
хаотичні, а фазова траекторія прагне до
дивного атрактора (найбільший показник Ляпунова додатний, їх сума від'ємна)