Динамічна система

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Фазова діаграма атрактора Лоренца — популярний приклад нелінійної динамічної системи. Подібні системи вивчає теорія хаосу.

Динамі́чна систе́ма — математична абстракція, призначена для опису і вивчення систем, що еволюціонують з часом. Прикладом можуть служити механічні системи (рухомі групи тіл) або фізичні процеси.

Основні поняття[ред.ред. код]

Реальним фізичним системам, модельованим математичним поняттям «Динамічної системи», приписується важлива властивість детермінованості: знаючи стан системи в початковий момент часу, ми можемо однозначно передбачити всю її подальшу поведінку. Фазовим простором динамічної системи називається множина всіх її можливих станів у фіксований момент часу. Звичайний стан системи задається деяким набором чисел (фазових координат) і є областю в багатовимірному просторі або многовид. Еволюція системи представляється як рух точки фазового простору. Крива, що описується цією точкою називається фазовою кривою або фазовою траєкторією.

Як приклад розглянемо механічну систему, що складається з ваги (матеріальної точки), що рухається по нерухомому стрижню. Припустимо, що тертя і зовнішні сили відсутні. Положення ваги задається одним дійсним числом — її координатою в деякій фіксованій системі відліку. Проте знання одній тільки координати не задає повністю стан динамічної системи, оскільки не дозволяє передбачити її поведінку в майбутньому. З іншого боку, знаючи координату і швидкість в початковий момент часу, ми можемо це зробити, пригадавши другий закон Ньютона (в даному випадку швидкість постійна). Говорять, що фазовий простір такої системи двовимірний. Якби вантажів було два, стан системи описувався б чотирма числами (дві координати і дві швидкості) і система мала б чотиривимірний фазовий простір. Важливо відзначити, що кожна точка фазового простору задає стан всієї системи.

Способи задання динамічних систем[ред.ред. код]

Для задання динамічної системи необхідно описати її фазовий простір X, множину моментів часу T і деяке правило, що описує рух точок фазового простору з часом. Множина моментів часу T може бути як інтервалом дійсної прямої (тоді говорять, що час неперервний), так і множиною цілих або натуральних чисел (дискретний час). У другому випадку «рух» точки фазового простору більше нагадує миттєві «стрибки» з однієї точки в іншу: траєкторія такої системи є не гладкою кривою, а просто впорядкованою множиною точок. Проте, незважаючи на зовнішню відмінність, між системами з неперервним і дискретним часом є тісний зв'язок: багато властивостей є загальними для цих класів систем або легко переносяться з одного на іншій.

Фазові потоки[ред.ред. код]

Нехай фазовий простір X є багатовимірним простором або областю в нім, а час безперервний. Припустимо, що нам відомо, з якою швидкістю рухається кожна точка x фазового простору. Іншими словами, відома вектор-функція швидкості v(x). Тоді траєкторія точки x_0\in X буде розв'язком автономного диференціального рівняння \frac{dx}{dt}=v(x) з початковою умовою x(0)=x_0. Задана таким чином динамічна система називається фазовим потоком для автономного диференціального рівняння.

Каскади[ред.ред. код]

Нехай X — довільна множина, і f\colon X\to
X — деяке відображення множини X на себе. Розглянемо ітерації цього відображення, тобто результати його багатократного застосування до точок фазового простору. Вони задають динамічну систему з фазовим простором X і множиною моментів часу T=\mathbb N. Дійсно, вважатимемо, що довільна точка x_0\in X за час 1 переходить в точку x_1=f(x_0)\in X. Тоді за час 2 ця точка перейде в точку x_2=f(x_1)=f(f(x_0)) і так далі.

Якщо відображення f оборотнє, можна визначити і зворотні ітерації: x_{-1}=f^{-1}(x_0), x_{-2}=f^{-1}(f^{-1}(x_0)) і так далі. Тим самим отримуємо систему з множиною моментів часу T=\mathbb Z.

Приклади[ред.ред. код]

  • Система диференціальних рівнянь


\begin{cases}
\frac{dx}{dt}=v\\
\frac{dv}{dt}=-kx
\end{cases}

задає динамічну систему з неперервним часом, що називається «гармонічним осцилятором». Її фазовим простором є площина (x, v), де v — швидкість точки x. Гармонічний осцилятор моделює різноманітні коливальні процеси — наприклад, поведінку ваги на пружині. Його фазовими кривими є еліпси з центром в нулі.

  • Нехай \varphi — кут, що задає положення точки на одиничному колі. Відображення подвоєння f(\varphi)=2\varphi\pmod{2\pi} задає динамічну систему з дискретним часом, фазовим простором якої є коло.

Питання теорії динамічних систем[ред.ред. код]

Маючи якесь завдання динамічної системи, далеко не завжди можна знайти і описати її траєкторії в явному вигляді. Тому зазвичай розглядаються простіші (але не менш змістовні) питання про загальну поведінку системи. Наприклад:

  • Чи є у системи замкнуті фазові криві, тобто чи може вона повернутися в початковий стан в ході еволюції?
  • Як влаштований атрактор системи, тобто множина у фазовому просторі, до якого прагнуть «більшість» траєкторій?
  • Як поводяться траєкторії, випущені з близьких точок, — чи залишаються вони близькими або йдуть з часом на значну відстань?
  • Що можна сказати про поведінку «типової» динамічної системи з деякого класу?
  • Що можна сказати про поведінку динамічних систем, «близьких» до даної?

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Анищенко В. С. , Знакомство з нелинейной динамикой. 2008. (рос.)