Граничний цикл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Грани́чний цикл — це крива, до якої наближається фазова траєкторія двовимірної динамічної системи при автоколиваннях. Зазвичай є роз'язком системи кінетичних рівнянь, які описують дисипативну систему, тобто є однією з можливих фазових траєкторій. Граничні цикли виникають при біфуркаціях Хопфа.

Визначення[ред.ред. код]

Перший приклад (нестікого) граничного циклу (Пуанкаре, 1882).[1]
Стійкий граничний цикл в системі Ван дер Поля ().
Напівстійкий граничний цикл.

Розглянемо двовимірну автономну систему звичайних диференціальних рівнянь:

де гладка функція. Розв'язок цієї системи заданий гладкою функцією яка задовольняє систему диференціальних рівнянь. Траєкторія називається замкнутою, або періодичною, якщо розв'язок, з початковими умовами , є (не сталою) періодичною функцією, тобто існує час після якого система повертається до початкової точки ().

Граничний цикл — замкнута траєкторія у фазовому просторі двовимірної динамічної системи, до якої збігається хоча б одна фазова траєкторія при або при . Граничний цикл називається:[2]

  • Стійким якщо траєкторії збігаються до замкнутої кривої по спіралі з обох боків при .
  • Нестійким якщо траєкторії збігаються до замкнутої кривої по спіралі з обох боків при .
  • Напівстійким якщо траєкторії збігаються до замкнутої кривої по спіралі при з одного боку та при з іншого, або навпаки.

Приклади[ред.ред. код]

Перший відомий приклад граничного циклу належить Пуанкаре, та був продемонстрований в 1882 році за допомогою наступної автономної системи [1] :

Ця система має нестійкий граничний цикл на одиничному колі у фазовому просторі, тобто на множині яка задовольняє алгебричне рівняння . На відміну від цього, в інших (навіть алгебричних) системах граничні цикли подекуди не можуть бути записаними за допомогою алгебричних рівнянь. Прикладом системи з токою властивістью є осцилятор Ван дер Поля:

зі стійким граничним циклом (при параметрі нелінійного загасання ) який не має алгебричного виразу.[3]

Заради прикладу напівстійкого граничного циклу можна розглянути наступну систему:

Напівстійкий граничний цикл цієї системи також лежить на одиничному колі.

Проблема існування[ред.ред. код]

В загальному випадку, доведення існування граничного циклу є нетривіальною проблемою. Існують деякі критерії існування (на пр. Теорема Пуанкаре — Бендиксона) та неіснування граничних циклів (на пр. критерій Бендиксона — Дюлака[en], відсутність точок рівноваги в системі), однак всі вони дають лише достатні умови.

Нерозв'язані проблеми[ред.ред. код]

Друга частина Шістнадцятої проблеми Гільберта[en].

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

Лекції[ред.ред. код]

Підручники[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. а б Ginoux, Jean-Marc (2009). Differential Geometry Applied to Dynamical Systems (англ. ). World Scientific Series on Nonlinear Science Series A: Volume 66. ISBN 978-981-4277-14-3. 
  2. Arrowsmith, D. K.; Place, C.M. (1990). Ordinary Differential Equations: A Qualitative Aproach with Applications (англ. ). Chapman and Hall. ISBN 978-0-412-22600-7. 
  3. Odani, Kenzi (1995). The Limit Cycle of the van der Pol Equation Is Not Algebraic (англ. ). Nagoya University: Elsevier,Journal of Differential Equations, Volume 115, Issue 1. 


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.