Однорідний многочлен

Однорідний многочлен — многочлен всі одночлени якого з ненульовими коефіцієнтами мають однаковий степінь. Іншою назвою такого многочлена є алгебраїчна форма. У випадку другого степеня алгебраїчна форма називається квадратичною формою. Наприклад многочлен $x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}\,$ є однорідним степеня 5, а многочлен $x^{3}+3x^{2}y+z^{7}\,$ не є однорідним.

Властивості

• Многочлен $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})\,$ є однорідним степеня $d\,$ тоді і тільки тоді коли й $f(tx_{1},tx_{2},...,tx_{n})=t^{d}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})\,$, для всіх $t\,$ з поля над яким визначений многочлен.
• Кількість різних одночленів степеня M з N змінними рівна

${\frac {(M+N-1)!}{M!(N-1)!}}$

• Для однорідних многочленів степеня $k\,$ з $n\,$ змінними справедлива формула:

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=kf(x_{1},x_{2},...,x_{n})$

Див. також

• Квадратична форма
• Однорідна функція

Література

• Barbeau, Edward Joseph (2003). Polynomials. Springer. ISBN 0387406271.