Однорідний многочлен

У математиці однорідним многочленом називається многочлен у якого усі ненульові члени мають однаковий степінь. Наприклад, $x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}$ — однорідний многочлен $5$-го степеня з двома змінними; сума показників у кожному доданку завжди дорівнює $5$. Многочлен $x^{3}+3x^{2}y+z^{7}$ не є однорідним, оскільки сума показників для різних одночленів не є однаковою. Функція визначена однорідним многочленом завжди є однорідною функцією.

Алгебрична форма або просто форма — функція, визначена однорідним поліномом. Бінарна форма — форма з двома змінними. Форма — це також функція, визначена у векторному просторі, яку можна представити як однорідну функцію координат для довільного базису.

Многочлен степеня $0$ завжди є однорідним; він просто є елементом поля або кільця коефіцієнтів, зазвичай його називають константою або скаляром. Форма степеня $1$ є лінійною формою. Форма степеня $2$ є квадратичною формою. Наприклад, у геометрії евклідова відстань є квадратним коренем із квадратичної форми.

Однорідні многочлени є широко поширеними в математиці та фізиці. Вони відіграють фундаментальну роль в алгебричній геометрії, оскільки проективний многовид за означенням є множиною спільних нулів множини однорідних многочленів.

Властивості

Однорідний многочлен визначає однорідну функцію. Це означає, що якщо многочлен $P$ від $n$ змінних є однорідним степеня $d$, то

${\begin{aligned}P(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}\,P(x_{1},\dots ,x_{n}),\end{aligned}}$

виконується для будь-якого $\lambda$ і для будь-якого поля, що містить коефіцієнти многочлена $P$. І навпаки, якщо вищезгадане співвідношення справедливе для нескінченної кількості $\lambda$, то многочлен є однорідним степеня $d$. Зокрема, якщо многочлен $P$ є однорідним, то

${\begin{aligned}P(x_{1},\dots ,x_{n})=0\quad \Rightarrow \quad P(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=0\end{aligned}}$

для будь-якого $\lambda$. Ця властивість є фундаментальною при визначенні проективного многовида.

Будь-який ненульовий многочлен можна єдиним чином розкласти як суму однорідних многочленів із різними степенями, які називаються однорідними компонентами многочлен а.

Для заданого кільця многочленів $R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ над полем (або, у загальному випадку, кільцем) $K$ однорідні многочлени степеня $d$ утворюють векторний простір (або модуль), який зазвичай позначається як $R_{d}$. Наведений вище однозначний розклад означає, що $R$ є прямою сумою модулів $R_{d}$ (сума за всіма невід'ємними цілими числами).

Розмірність векторного простору (або вільного модуля) $R_{d}$ — це кількість різних одночленів степеня $d$ з $n$ змінними і одиничним коефіцієнтом (тобто максимальна кількість ненульових членів в однорідному поліномі степеня $d$ від $n$ змінних). Вона дорівнює біноміальному коефіцієнту

${\begin{aligned}{\binom {d+n-1}{n-1}}={\binom {d+n-1}{d}}={\frac {(d+n-1)!}{d!(n-1)!}}.\end{aligned}}$

Однорідний многочлен задовольняє тотожність Ейлера для однорідних функцій: якщо $P$ є однорідним многочленом степеня $d$ від невідомих $x_{1},\dots ,x_{n}$, то:

${\begin{aligned}{\rm {d}}P=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}},\end{aligned}}$

де ${\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}$ означає формальну частинну похідну від $P$ відносно $x_{i}$.

Гомогенізація

Для неоднорідного многочлена $P(x_{1},\dots ,x_{n})$ існує однорідний відповідник, який називається гомогенізацією многочлена. Його можна одержати, ввівши додаткову змінну $x_{0}$ і визначивши однорідний многочлен $^{h}\!P$:

${\begin{aligned}{^{h}\!P}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=x_{0}^{d}P\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{0}}}\right),\end{aligned}}$

де $d$ степінь многочлена $P$. Наприклад для многочлена

$P=x_{3}^{3}+x_{1}x_{2}+7,$

його гомогенізація є рівною

$^{h}\!P=x_{3}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}+7x_{0}^{3}.$

Навпаки неоднорідний многочлен одержується з однорідного, якщо ввести заміну $x_{0}=1$.Тобто

$P(x_{1},\dots ,x_{n})={^{h}\!P}(1,x_{1},\dots ,x_{n}).$

Див. також

• Мультиоднорідний поліном
• Квазіоднорідний поліном
• Діагональна форма
• Градуйована алгебра
• Многочлен Гільберта
• Полілінійна форма
• Мультилінійна функція
• Поляризація алгебричної форми
• Поліном Шура
• Символ диференціального оператора

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2026. — 2100+ с.(укр.)
• Weisstein, Eric W. Однорідний многочлен(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.