Однорідна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Однорідна функція (англ. homogeneous function) ступеню q — числова функція f:\R^n\to\R така, що для будь-якого \mathbf{v}\in\R^n та \lambda \in\R виконується нерівність:

 f(\lambda \mathbf{v}) = \lambda^q f(\mathbf{v})  \qquad\qquad (*)

причому q називають порядком однорідності.

Розрізняють також

  • додатно однорідні функції, для яких рівняння (*) виконується тільки для додатних \lambda (\lambda > 0 )
  • абсолютно однорідні функції для яких виконується рівняння
         f(\lambda \mathbf{v}) = |\lambda|^q f(\mathbf{v})

Властивості[ред.ред. код]

  1. Якщо функція f є многочленом від n змінних, тоді вона буде однорідною функцією степеню q тоді і тільки тоді, коли fоднорідний многочлен степеню q, зокрема в цьому випадку q має бути цілим.
  2. Однорідна функція в нулі дорівнює нулю, якщо вона там визначена:
         f(\mathbf{0}) = 0 \qquad\qquad
  3. Лема Ейлера. Однорідні функції пропорційні скалярному добутку свого градієнта на вектор своїх змінних з коефіцієнтом, що дорівнює порядку однорідності:
         \mathbf{v} \cdot \nabla f(\mathbf{v}) = qf(\mathbf{v}).
    Доводиться диференціюванням рівняння (*) по \lambda при \lambda=1.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]