Квадратична форма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Квадрати́чна фо́рма — однорідний многочлен другого степеня від однієї чи декількох змінних.

Ось приклади квадратичних форм від однієї, двох і трьох змінних:

Канонічна форма[ред.ред. код]

Для довільної квадратичної форми існує базис, в якому її матриця є діагональною, а сама форма має канонічний вигляд: .

Для приведення квадратичної форми до канонічного вигляду використовують метод виділення повних квадратів (метод Лагранжа).

Координатне представлення[ред.ред. код]

За аналогією з білінійними формами, можна розглядати квадратичну форму як відображення векторного простору в скалярне поле :

  • Якщо  — деякий базис лінійного простору то квадратична форма буде представлена як:

де  — симетрична матриця з елементами .

  • Якщо деякий інший базис в де  — невироджена матриця.

Тоді при переході до нового базису матриця квадратичної форми зміниться на конгруентну матрицю:

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

  • Симетричну білінійну форму A(x, y), називають полярною до квадратичної форми A(x, x).

Матриця білінійної форми збігається з матрицею полярної до неї білінійної форми в тому ж базисі.

Симетрична білінійна форма[ред.ред. код]

  • Маючи білінійну форму можна отримати квадратичну форму підставивши  :
  • І навпаки, маючи квадратичну форму , використавши правило паралелограма, отримаємо асоційовану з нею симетричну білінійну форму:

Критерій Сильвестра[ред.ред. код]

  • Квадратична форма є додатньо визначеною, тоді і тільки тоді, коли всі кутові мінори її матриці строго додатні.
  • Квадратичная форма є від'ємно визначеною, тоді і тільки тоді, коли знаки всіх кутових мінорів її матриці чергуються, причому мінор порядку 1 — від'ємний.

Закон інерції[ред.ред. код]

  • Закон інерції: кількість нульових, позитивних та негативних елементів в діагональній матриці канонічної форми не залежить від обраного базису. Ці три числа називаються сигнатурою квадратичної форми.
  • Якщо на діагоналі присутні нульові елементи (отже матриця має неповний ранг), то така квадратична форма називається виродженою.

Джерела[ред.ред. код]