Метод ітерації (алгоритм)

Метод або ж алгоритм ітерації  — рекурсивний алґоритм, що реалізує в деякому топологічному просторі $V$ послідовність точково-множинних відображень $A_{k}:V\rightarrow V$, з допомогою яких, за початковою точкою $u^{0}\in V$ вичисляють послідовність точок $u^{k}\in V$ згідно формул:

$u^{k+1}=A_{k}u^{k},\qquad k=0,1,...$

Ця операція називається ітерація, а послідовність $u^{k}$ називається ітераційна послідовність. Такі методи (що ще називаються методами послідовних наближень) можуть використовуватись для находження розв'язків операторного рівняння

$Au=f$,

чи мінімуму деякого функціонала, чи власних значень і елементів рівняння $Au=\lambda u$, а також для доведення існування розв'язків цих задач. Ітераційний алгоритм називається збіжним, якщо $u^{k}\rightarrow u$ при $k\rightarrow \infty$. Оператори $A_{k}$ для рівняння наведеного вище (в лінійному метричному просторі $V$) будують наступним чином

$A_{k}u^{k}=u_{k}-H_{k}(Au^{k}-f)$

де $H_{k}:V\rightarrow V$ — деяка послідовність операторів, що визначає тип ітераційоного алгоритму.

В основі методу лежить принцип стискуючих відображень і його узагальнення, або варіаційні методи мінімізації деякого пов'язаного із завданням функціонала.

Див. також

• Ітераційні методи розв'язування СЛАР

Джерела

• И. М. Виноградов. Математическая энциклопедия. Том 2. — Москва : «Советская энциклопедия», 1985. — Т. 2. — С. 690. — 1088 с.