Функціонал

Функція довжини кривої визначається на векторному просторі спрямних кривих (підпростір простору $C{\big (}[0,1],{\mathbb {R} }^{3}{\big )}$) і набуває дійсних значень. Це приклад нелінійного функціоналу.

Інтеграл Рімана є лінійним функціоналом на векторному просторі інтегровних за Ріманом функцій на відрізку $[a,b]$, де $a,b\in {\mathbb {R} }.$

Не плутати з позначенням функції.

У математиці термін функціонал (як іменник) має щонайменше три значення.

• У сучасній лінійній алгебрі функціонал — це лінійне відображення з векторного простору $V$ у поле його скалярів, тобто — це елемент спряженого простору $V^{*}$.

• У математичному аналізі (більш загально та історично) функціонал — це відображення з простору $X$ у простір дійсних чисел, або іноді і в простір комплексних чисел, з метою встановлення обчислювальних структур простору $X$. Залежно від автора, такі відображення можуть вважатися лінійними чи нелінійними, або визначатись на всьому просторі $X$.

• У інформатиці функціонал — це синонім функції вищого порядку, тобто функції, аргументами яких є функції, або повертають іншу функцію як результат.

Ця стаття стосується переважно другого значення, яке виникло на початку 18 століття як частина варіаційного числення. Перше значення, яке є більш сучасним та абстрактним, детально обговорюється в окремій статті під назвою «Лінійна форма». Третє значення детально описано у статті про функції вищого порядку.

Як правило простір $X$ — це простір функцій. У цьому випадку функціонал — це «функція від функції», і деякі автори фактично використовують термін «функціонал» для позначання «функція від функції». Однак вимога, що $X$ — це простір функцій, не є математично суттєвою, тому це старе означення вже не є поширеним.

Термін походить з варіаційного числення, де необхідно знаходити функцію, яка мінімізує заданий функціонал. Особливо важливим застосуванням у фізиці є знаходження стану системи, що мінімізує функціонал енергії.

Властивості

Дуальність

Відображення

$x_{0}\rightarrow f(x_{0})$

є функцією, де $x_{0}$ є аргументом функції $f$. У той же час відображення функції у значення функції в точці

$f\rightarrow f(x_{0})$

є функціоналом, тут $x_{0}$ — параметр.

За умови, що $f$ — лінійна функція з векторного простору на скалярне поле, вищевказані лінійні відображення є дуальними один одному, і в функціональному аналізі ці відображення називаються лінійними функціоналами.

Визначений інтеграл

Інтеграли, такі як

$f\rightarrow I[f]=\int _{\Omega }H(f(x),f'(x),\dots )\mu ({\rm {d}}x),$

формують особливий клас функціоналів. Вони відображають функцію $f$ у простір дійсних чисел при умові, що функція $H$ є дійснозначною.

Приклади включають:

• площа під графіком додатньо визначеної функції $f$

$f\rightarrow \int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\,{\rm {d}}x;$

• $L^{p}$ норма функції на множині $E$

$f\rightarrow \left(\int _{E}|f|^{p}\,{\rm {d}}x\right)^{\frac {1}{p}};$

• довжина дуги кривої у двовимірному евклідовому просторі

$\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {1+|f'|^{2}}}\,{\rm {d}}x.$

Предгільбертів простір

Нехай $X$ — предгільбертів простір, ${\vec {x}}\in X$ — фіксований вектор, тоді відображення ${\vec {y}}\rightarrow {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}$ є лінійним функціоналом на просторі $X$. Набір векторів ${\vec {y}}$ такий, що ${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=0$, є векторним підпростором простору $X$, який називається нуль-простором або ядром функціоналу, або ортогональним доповненням ${\vec {x}}$, що позначається як ${\vec {x}}^{\perp }$.

Наприклад, скалярний добуток з фіксованою функцією $g\in L^{2}([-\pi ,\pi ])$ визначає (лінійний) функціонал на гільбертовому просторі $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ квадратично інтегровних функцій на відрізку $[-\pi ,\pi ]$:

$f\rightarrow \langle f,g\rangle =\int _{-\pi }^{\pi }fg\,{\rm {d}}x.$

Локальність

Якщо значення функціоналу можна обчислити для невеликих сегментів заданої кривої, а потім підсумувати, щоб знайти загальне значення, то у цьому випадку функціонал називається локальним. В іншому випадку функціонал називається нелокальним. Наприклад, функціонал

$F(y)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\,{\rm {d}}x$

є локальним, а функціонал

$F(x)={\frac {\displaystyle \int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\,{\rm {d}}x}{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x_{1}}\left(1+(y(x))^{2}\right)\,{\rm {d}}x}}$

є нелокальним. Зазвичай, це трапляється тоді, коли інтеграли зустрічаються окремо в чисельнику та знаменнику рівняння. Наприклад, при розрахунках центру мас.

Розв’язування рівнянь

Див.\ статтю про функціональні рівняння.

Традиційним є використання функціоналів у функціональних рівняннях, тобто рівняннях між функціоналами: рівняння $F=G$ між функціоналами можна сприймати як «розв'язати рівняння», при цьому розв'язком є функція. У таких рівняннях може бути кілька наборів невідомих. Наприклад, кажуть, що функція $f$ аддитивна, якщо вона задовольняє функціональне рівняння

$f(x+y)=f(x)+f(y).$

Похідна та інтеграл

Див.\ статтю про варіаційне числення.

Функціональні похідні використовуються в механіці Лагранжа. Це похідні функціоналів, тобто вони несуть інформацію про те, як змінюється функціонал при незначних змінах функції.

Річард Філіпс Фейнман використовував функціональні інтеграли як провідну ідею в інтегралі вздовж траєкторій при формуванні квантової механіки. Таке застосування має на увазі інтеграл взятий над деяким функціональним простором.

Для квантової системи, яка описується гамільтоніаном ${\hat {H}}$, для довільної хвильової функції $\psi$ можна побудувати функціонал

$\Phi (\psi )=\int \psi ^{*}{\hat {H}}\psi d\tau$,

який є відображенням простору хвильових функцій на простір дійсних чисел. Відомо, що мінімальне значення цього функціоналу досягається для хвильової функції, що описує основний стан квантової системи.

Див. також

• Лінійна форма;
• Оптимізація (математика);
• Тензор.

Література

• Математическая Энциклопедия. — М. : Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 5.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• У.Рудин. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1975.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Functional, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Rowland, Todd Functional(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.