Теорема Банаха про нерухому точку

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ця теорема була сформульована і доведена у 1922 році Стефаном Банахом. Вона є однією з найбільш класичних і фундаментальних теорем функціонального аналізу, а тому її результати використовуються при доведенні багатьох інших тверджень цієї дисципліни.

Формулювання теореми[ред.ред. код]

Всяке стискуюче відображення повного метричного простору в себе має єдину нерухому точку (яку можна знайти методом послідовних наближень, починаючи з будь-якої точки цього простору).

Пояснення[ред.ред. код]

Нехай (X,d) — метричний простір, відображення метричного простору X в себе, тоді існує єдиний елемент x метричного простору X, що при відображенні A переходить в себе, тобто A(x)=x.

Для того, щоб знайти цей елемент, можна побудувати таку послідовність. Потрібно взяти довільний елемент , потім покласти , після цього взяти , далі — , і так далі. Отрималась послідовність , яка прямує до шуканого елемента x (при )

Доведення[ред.ред. код]

Нехай (X,d) — метричний простір, — стискуюче відображення. Розглянемо послідовність наближень , у якій , а — довільний елемент. Потрібно довести існування нерухомої точки і єдиність.

Існування. Покажемо, що ця послідовність є фундаментальною, тобто, що для будь-якого ε>0 для всіх m і n, більших деякого виконуватиметься нерівність . Дійсно, оскільки A - стискуюче відображення, тоді існує (α - коефіцієнт стиснення) таке, що для всіх виконуватиметься нерівність: . Візьмемо ε>0, а також таке, щоб (очевидно, що це завжди можна зробити, бо прямує до 0 при ). Розглянемо , не зменшуючи загальності, можна вважати, що m>n: , що і означає фундаментальність послідовності . Оскільки метричний простір X — повний, то послідовність збіжна у ньому. Позначимо границю цієї послідовності через x. Тоді , тобто A(x)=x. Існування доведено.

Єдиність. Припустимо, що існують відмінні один від одного і такі, що , тоді з одного боку (оскільки x та — нерухомі точки) , з іншого, зважаючи на те, що A — стискуюче відображення, . Отримана суперечність доводить єдиність.

Теорему доведено.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]