Теорема Банаха про нерухому точку

Ця теорема була сформульована і доведена у 1922 році Стефаном Банахом. Вона є однією з найбільш класичних і фундаментальних теорем функціонального аналізу, а тому її результати використовуються при доведенні багатьох інших тверджень цієї дисципліни.

Формулювання теореми

Всяке стискальне відображення повного метричного простору в себе має єдину нерухому точку (яку можна знайти методом послідовних наближень, починаючи з будь-якої точки цього простору).

Пояснення

Нехай (X,d) — повний метричний простір, $A:X\to X$ — відображення метричного простору X в себе, тоді існує єдиний елемент x метричного простору X, що при відображенні A переходить в себе, тобто A(x)=x.

Для того, щоб знайти цей елемент, можна побудувати таку послідовність. Потрібно взяти довільний елемент $x_{0}\in X$, потім покласти $x_{1}=A(x_{0})$, після цього взяти $x_{2}=A(x_{1})$, далі — $x_{3}=A(x_{2})$, і так далі. Отрималась послідовність $(x_{n})$, яка прямує до шуканого елемента x (при $n\to \infty$)

Доведення

Нехай (X,d) — повний метричний простір, $A:X\to X$ — стискальне відображення. Розглянемо послідовність наближень $(x_{n}),x_{n}\in X,n\in \mathbb {N} _{0}$, у якій $x_{n}=A(x_{n-1}),\;n\in \mathbb {N}$, а $x_{0}\in X$ — довільний елемент. Потрібно довести існування нерухомої точки і єдиність.

Існування. Покажемо, що ця послідовність є фундаментальною, тобто, що для будь-якого ε>0 для всіх m і n, більших деякого $n_{0}\in \mathbb {N}$ виконуватиметься нерівність $d(x_{n},x_{m})<\epsilon$. Дійсно, оскільки A - стискальне відображення, тоді існує $\alpha \in [0,1)$ (α - коефіцієнт стиснення) таке, що для всіх $x,y\in X$ виконуватиметься нерівність: $d(A(x),A(y))\leq \alpha d(x,y)$. Візьмемо ε>0, а також $n_{0}$ таке, щоб $d(x_{1},x_{0}){\frac {\alpha ^{n_{0}}}{1-\alpha }}<\varepsilon$ (очевидно, що це завжди можна зробити, бо $d(x_{1},x_{0}){\frac {\alpha ^{n_{0}}}{1-\alpha }}$ прямує до 0 при $n_{0}\to \infty$). Розглянемо $d(x_{m},x_{n})$, не зменшуючи загальності, можна вважати, що m>n: $d(x_{m},x_{n})\leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{n})\leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+d(x_{m-2},x_{n})\leq ...\leq$ $\leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+...+d(x_{n+1},x_{n})\leq$ $\leq \alpha ^{m-1}d(x_{1},x_{0})+\alpha ^{m-2}d(x_{1},x_{0})+...+\alpha ^{n}d(x_{1},x_{0})=$ $=d(x_{1},x_{0})(\alpha ^{m-1}+\alpha ^{m-2}+...+\alpha ^{n})<d(x_{0},x_{1}){\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}<d(x_{0},x_{1}){\frac {\alpha ^{n_{0}}}{1-\alpha }}<\varepsilon$, що і означає фундаментальність послідовності $(x_{n})$. Оскільки метричний простір X — повний, то послідовність $(x_{n})$ збіжна у ньому. Позначимо границю цієї послідовності через x. Тоді $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }A(x_{n-1})=A(\lim _{n\to \infty }x_{n-1})=A(x)$, тобто A(x)=x. Існування доведено.

Єдиність. Припустимо, що існують відмінні один від одного $x\in X$ і ${\overline {x}}\in X$ такі, що $A(x)=x,A({\overline {x}})={\overline {x}}$, тоді з одного боку (оскільки x та ${\overline {x}}$ — нерухомі точки) $d(x,{\overline {x}})=d(A(x),A({\overline {x}}))$, з іншого, зважаючи на те, що A — стискальне відображення, $d(A(x),A({\overline {x}}))<d(x,{\overline {x}})$. Отримана суперечність доводить єдиність.

Теорему доведено.

Див. також

• Метричний простір
• Повний метричний простір

Література

• Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ : курс лекций. — К. : Вища школа, 1990. — 600 с.(рос.)
• М. І. Жалдак, Г. О. Михалін, С. Я. Деканов. Математичний аналіз. Функції багатьох змінних: Навчальний посібник. — Київ, НПУ імені М. П. Драгоманова, 2007. - 430 с.
• Кирилов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа.
• Люстерниик Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа.

Посилання

• ^{[недоступне посилання з липня 2019} Курс диференціальних рівнянь. Розділ 2]^{[недоступне посилання з жовтня 2019]}