Максимальні та мінімальні елементи

У математиці, а саме в теорії порядку, для частково впорядкованої множини (P,≤)

максимальним елементом називається такий елемент $m\in P,$ для якого справедливо:

$\forall x\in P:(m\leq x\;\Rightarrow \;x=m)$

мінімальним елементом називається такий елемент $m\in P,$ для якого справедливо:

$\forall x\in P:(x\leq m\;\Rightarrow \;x=m)$

Максимальні та мінімальні елементи в частково впорядкованих множинах можуть існувати, а можуть і не існувати, їх може бути кілька, як показують наведені нижче приклади:

Приклад 1:

(R,≤) - множина дійсних чисел. У цій множині немає ні максимального, ні мінімального елементів.

Приклад 2:

В множині [0;1] Є максимальний елемент a=1, та мінімальний елемент b=0.

В множині (0;1] Є максимальний елемент, але немає мінімального.

В множині [0;1) Є мінімальний елемент, але немає максимального.

Властивості

• Максимального або мінімального елементів може не існувати. Якщо ж вони існують, то можуть бути не єдиними.
• Якщо існує найбільший елемент, то він є єдиним максимальним елементом.
• Якщо існує найменший елемент, то він є єдиним мінімальним елементом.

Див. також

• Найбільший та найменший елемент
• Верхня та нижня межа

Джерела

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)