Полікруг
Полікруг (також поліциліндр, полідиск) — геометричний багатовимірний об'єкт, що є добутком звичайних кругів. Полікруги часто використовуються в комплексному аналізі при вивченні функцій багатьох комплексних змінних, зокрема часто інтегральні теореми для багатьох змінних формулюються через інтеграли на границі полікруга.
Означення[ред. | ред. код]
Означення тут буде дано для комплексного простору Аналоги всіх означень легко сформулювати також для простору
Якщо позначити відкритий круг з центром в точці z і радіусом r в комплексній площині, тоді відкритим полікругом розмірності n з мультирадіусом і центром в точці називається множина
Іншими словами відкритим полідиском з мультирадіусом і центром в точці є множина:
Подібним чином можна визначити і замкнутий полікруг:
Він є декартовим добутком замкнутих кругів.
Межа полікруга може бути записана так:
Також важливою є така частина межі, як кістяк полікруга, що визначений формулою:
Полікруг і багатовимірна куля[ред. | ред. код]
Окрім полікруга, в також визначена стандартна відкрита куля
де нормою є евклідова норма в .
Коли , відкриті полікруги і відкриті кулі не є біголоморфно еквівалентними тобто між ними не існує голоморфного бієктивного відображення з голоморфним оберненим відображенням. Цей факт був доведений Анрі Пуанкаре в 1907 році. Пуанкаре показав, що групи автоморфізмів відкритих куль і полікругів мають різні розмірності як групи Лі.
Узагальнення[ред. | ред. код]
Очевидним узагальненням полікругів в комплексному аналізі є поліобласті : що є добутком областей в комплексній площині. Замкнуті поліобласті, межі та кістяки в цьому випадку визначаються аналогічно до попереднього.
Полікруг є частковим випадком логарифмічно опуклої області Рейнхарта.
Література[ред. | ред. код]
- Steven G Krantz (Jan 1, 2002). Function Theory of Several Complex Variables. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2724-3.
- John P D'Angelo, D'Angelo P D'Angelo (Jan 6, 1993). Several Complex Variables and the Geometry of Real Hypersurfaces. CRC Press. ISBN 0-8493-8272-6.