Комплексна площина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Комплексна площина \C — множина впорядкованих пар (x,y), де \ x,y\in\R. Зазвичай проводиться утотожнення комплексної площини і поля комплексних чисел \C за принципом \ (x,y)\equiv x+iy. Це дозволяє ввести алгебраїчні операції на площині \C. Розглянемо топологічні властивості комплексної площини і не будемо проводити різниці між парою \ z=(x,y) і комплексним числом \ z=x+iy.

Топологія комплексної площини[ред.ред. код]

Відкриті множини[ред.ред. код]

Фундаментальне поняття околу вводиться на комплексній площині таким чином — околом {\mathcal U}_{z_0} точки z_0\in\C називається множина виду {\mathcal U}_{z_0}=\{z\colon|z-z_0|<r\},\,r>0. Геометрично на комплексній площині околи мають вигляд кола з центром в певних точках комплексної площини. Інколи для зручності необхідно розглядат і проколоті околи \dot{\mathcal U}_{z_0}={\mathcal U}_{z_0}\setminus\{z_0\}.

Визначимо відкриту множину — згідно з визначенням із загальної топології, відкритою множина буде, якщо вона для будь якої своєї точки містить деякий її окіл.

Точка згущення і замкнена множина[ред.ред. код]

Точка z_0\in\C буде точкою згущення для множини G\subset\C, якщо для довільного околу {\mathcal U}_{z_0} перетин {\mathcal U}_{z_0}\cap G буде не порожнім. Іншими словами, точка є точкою згущення, якщо в довільній «близькості» до неї завжди можна знайти точки множини. Множина точок згущення називається похідною і позначається G'.

Множина G\subset\C буде називатися замкнутою, якщо для неї справедлим є включення G'\subset G. Очевидно, що для довільної множини G множина \overline{G}=G\cup G' буде замкненою; вона називається замиканням множини G.

Границя[ред.ред. код]

Точка z_0\in\C буде називатися граничною для множини G\subset\mathbb C, якщо для довільного околу {\mathcal U}_{z_0} перетин {\mathcal U}_{z_0}\cap G і {\mathcal U}_{z_0}\cap({\C}\setminus G) будуть не порожніми. Множина всіх граничних точок називається граничною множиною \partial G або просто границею.

Всюди щільні множини[ред.ред. код]

Множина E\subset\C буде називатися всюди щільною в іншій множині G\subset\C, якщо для довільної точки z_0\in G і будь якого околу {\mathcal U}_{z_0} перетин {\mathcal U}_{z_0}\cap E не порожній.

Зв'язність[ред.ред. код]

Відстань між множинами[ред.ред. код]

Як відомо з елементарної математики, на комплексній площині відстань мід двома точками дорівнює модулю їх різинці. Тепер визначимо відстань між точкою z_0 і деякою множиною G\subset\C як величину \mathrm{dist}\,(z_0,G)=\inf_{z\in G}|z-z_0|.

На базі цього поняття вже можна визначити відстань між двома довільними множинами в \C: \mathrm{dist}\,(G_1,G_2)=\inf_{z\in G_1}\mathrm{dist}\,(z,G_2)=\inf_{z\in G_2}\mathrm{dist}\,(z,G_1).

Зв'язність[ред.ред. код]

Множина G\subset\C називаєтсья Зв'язною, якщо для неї виконано співвідношення \inf_{z_1,z_2\in G}|z_1-z_2|=0. Якщо дана величина не дорівнює нулю, то множина називається незв'язним. Можна показати, що незв'язна множину G можна представити у вигляді об'єднання (скінченного або зліченного) \sum G_n, де G_n — зв'язні множини, що не перетинаються, називаються зв'зними компонентами множини G. Потужність множини зв'язних компонент називається порядком зв'язності.

Випуклі, спряжені і лінійно зв'язані множини[ред.ред. код]

Множина G\subset\C називається спряженою відносно точки z_0\in G, якщо для довільної точки z\in G виконується включення \overline{z_0z}\subset G.

Множина G\subset\C називаєтсья випуклою, якщо вона спряжена відносно будь якої своєї точки. Множина G^* називається випуклою оболонкою множини G, якщо вона випукла, G\subset G^* і для будь якої випуклої множини G^{**}, що містить множину G виконується включення G^*\subset G^{**}.

Ламаною' \Gamma називається множина множина точок комплексної площини, що представляється у вигляді об'єднання відрізків. Множина G називається лінійно зв'язною, якщо для двох довільних точок z_1,z_2\in G існує ламана \Gamma\subset G така, что виконується z_1,z_2\in\Gamma.

Можно довести, що будь-яка лінійно связана множина буде зв'язною. Звідси наслідком є те, що зв'язні всі випуклі і спряжені множини.

Криві на \C[ред.ред. код]

Криві и шляхи[ред.ред. код]

Кривою або шляхом на комплексній площині \mathbb C називається відображення вигляду \varphi(t)\colon[0;1]\to\C. Особливо слід зазначити, що при такому визначенні можна конкретизувати не тільки вигляд кривої, який буде залежати від аналітичних властивостей функції \varphi(t), але й її напрямок. Наприклад, функції \varphi(t) і \eta(t)=\varphi(1-t) будуть визначати однакову за виглядом криву, але вона буде проходити в протилежних напрямках.

Гомотопія кривих[ред.ред. код]

Криві \varphi_0(t)\colon[0;1]\to\C и \varphi_1(t)\colon[0;1]\to\C називаються гомотопними, якщо існує крива \xi(t,q)\colon[0;1]\times[0;1]\to\C, що залежить від параметру q таким чином, що \xi(t,0)\equiv\varphi_0 і \xi(t,1)\equiv\varphi_1.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]