Комплексна площина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Геометричне представлення z і його спряжене число в комплексній площині. Довжина одного блакитного відрізку від початку координат до точки z є модулем або абсолютним значенням z. Кут φ є аргументом z.

Комплексна площина  — множина впорядкованих пар , де . Зазвичай проводиться утотожнення комплексної площини і поля комплексних чисел за принципом . Це дозволяє ввести алгебраїчні операції на площині . Розглянемо топологічні властивості комплексної площини і не будемо проводити різниці між парою і комплексним числом .

Концепція комплексної площини, дозволяє привести комплексні числа у геометричному сенсі. Операцію додавання, здійснювати як додавання векторів. Множення двох комплексних чисел можна у найпростішому вигляді можна виразити в полярних координатах—величина або модуль добутку це добуток двох абсолютних величин, або модулів, а кут або аргумент добутку є сумою двох кутів, або аргументів. Зокрема, множення на комплексне число із модулем, що дорівнює 1 приводить до обертання.

Комплексну площину іноді називають площиною Арганда, а геометричні графіки[en] на цій площині діаграмами Арганда. Вони незвані в честь Роберта Арганда[en] (1768–1822), хоча вперше їх описав норвезько-датський землевпорядник і математик Каспар Вессель[en] (1745–1818).[1]

Загальні позначення[ред.ред. код]

В комплексному аналізі, комплексні числа зазвичай позначаються символом z, в якому виділяють його дійсну (x) і уявну (y) частини:

наприклад: z = 4 + 5i, де x і y є дійсними числами, і i є уявною одиницею. В цьому загальному позначенні комплексне число z відповідає точці (x, y) на декартовій площині.

В декартовій системі координат, точку (x, y) також можна представити в полярних координатах наступним чином

Для декартової площини можна припустити що арктангенс приймає значення лише від −π/2 до π/2радіанах), і варто обережно поводитися при використанні функції арктангенса для точок (x, y) при x ≤ 0.[2] В комплексній площині дані полярні координати будуть мати форму

де

[3]

Тут |z| є абсолютним значенням або модулем комплексного числа z; θ, це аргумент числа z, його зазвичай обирають в інтервалі 0 ≤ θ < 2π; а остання рівність (|z|e) взята із формули Ейлера. Слід зауважити, що без обмеження діапазону значень кута θ, аргумент z буде мати множину значень, оскільки комплексна експоненційна функція періодична, і має період 2π i. Тому, якщо θ є одним із значень arg(z), то іншими значення будуть задаватися як arg(z) = θ + 2, де n приймає усі цілі значення ≠ 0.[4]

Топологія комплексної площини[ред.ред. код]

Відкриті множини[ред.ред. код]

Фундаментальне поняття околу вводиться на комплексній площині таким чином — околом точки називається множина виду . Геометрично на комплексній площині околи мають вигляд кола з центром в певних точках комплексної площини. Інколи для зручності необхідно розглядат і проколоті околи .

Визначимо відкриту множину — згідно з визначенням із загальної топології, відкритою множина буде, якщо вона для будь якої своєї точки містить деякий її окіл.

Точка згущення і замкнена множина[ред.ред. код]

Точка буде точкою згущення для множини , якщо для довільного околу перетин буде не порожнім. Іншими словами, точка є точкою згущення, якщо в довільній «близькості» до неї завжди можна знайти точки множини. Множина точок згущення називається похідною і позначається G'.

Множина буде називатися замкнутою, якщо для неї справедлим є включення . Очевидно, що для довільної множини множина буде замкненою; вона називається замиканням множини .

Границя[ред.ред. код]

Точка буде називатися граничною для множини , якщо для довільного околу перетин і будуть не порожніми. Множина всіх граничних точок називається граничною множиною або просто границею.

Всюди щільні множини[ред.ред. код]

Множина буде називатися всюди щільною в іншій множині , якщо для довільної точки і будь якого околу перетин не порожній.

Зв'язність[ред.ред. код]

Відстань між множинами[ред.ред. код]

Як відомо з елементарної математики, на комплексній площині відстань мід двома точками дорівнює модулю їх різинці. Тепер визначимо відстань між точкою і деякою множиною як величину .

На базі цього поняття вже можна визначити відстань між двома довільними множинами в : .

Зв'язність[ред.ред. код]

Множина називається Зв'язною, якщо для неї виконано співвідношення . Якщо дана величина не дорівнює нулю, то множина називається незв'язним. Можна показати, що незв'язна множину можна представити у вигляді об'єднання (скінченного або зліченного) , де  — зв'язні множини, що не перетинаються, називаються зв'зними компонентами множини . Потужність множини зв'язних компонент називається порядком зв'язності.

Випуклі, спряжені і лінійно зв'язані множини[ред.ред. код]

Множина називається спряженою відносно точки , якщо для довільної точки виконується включення .

Множина називається випуклою, якщо вона спряжена відносно будь якої своєї точки. Множина називається випуклою оболонкою множини , якщо вона випукла, і для будь якої випуклої множини , що містить множину виконується включення .

Ламаною' називається множина множина точок комплексної площини, що представляється у вигляді об'єднання відрізків. Множина називається лінійно зв'язною, якщо для двох довільних точок існує ламана така, что виконується .

Можно довести, що будь-яка лінійно связана множина буде зв'язною. Звідси наслідком є те, що зв'язні всі випуклі і спряжені множини.

Криві на [ред.ред. код]

Криві и шляхи[ред.ред. код]

Кривою або шляхом на комплексній площині називається відображення вигляду . Особливо слід зазначити, що при такому визначенні можна конкретизувати не тільки вигляд кривої, який буде залежати від аналітичних властивостей функції , але й її напрямок. Наприклад, функції і будуть визначати однакову за виглядом криву, але вона буде проходити в протилежних напрямках.

Гомотопія кривих[ред.ред. код]

Криві и називаються гомотопними, якщо існує крива , що залежить від параметру таким чином, що і .

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Wessel's memoir was presented to the Danish Academy in 1797; Argand's paper was published in 1806. (Whittaker & Watson, 1927, p. 9)
  2. A detailed definition of the complex argument in terms of the real arctangent can be found here.
  3. It can be shown (Whittaker & Watson, 1927, Appendix) that all the familiar properties of the complex exponential function, the trigonometric functions, and the complex logarithm can be deduced directly from the power series for ez. In particular, the principal value of logr, where |r| = 1, can be calculated without reference to any geometrical or trigonometric construction.
  4. (Whittaker & Watson, 1927, p. 10)

Посилання[ред.ред. код]