Комплексна площина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Комплексна площина  — множина впорядкованих пар , де . Зазвичай проводиться утотожнення комплексної площини і поля комплексних чисел за принципом . Це дозволяє ввести алгебраїчні операції на площині . Розглянемо топологічні властивості комплексної площини і не будемо проводити різниці між парою і комплексним числом .

Топологія комплексної площини[ред.ред. код]

Відкриті множини[ред.ред. код]

Фундаментальне поняття околу вводиться на комплексній площині таким чином — околом точки називається множина виду . Геометрично на комплексній площині околи мають вигляд кола з центром в певних точках комплексної площини. Інколи для зручності необхідно розглядат і проколоті околи .

Визначимо відкриту множину — згідно з визначенням із загальної топології, відкритою множина буде, якщо вона для будь якої своєї точки містить деякий її окіл.

Точка згущення і замкнена множина[ред.ред. код]

Точка буде точкою згущення для множини , якщо для довільного околу перетин буде не порожнім. Іншими словами, точка є точкою згущення, якщо в довільній «близькості» до неї завжди можна знайти точки множини. Множина точок згущення називається похідною і позначається G'.

Множина буде називатися замкнутою, якщо для неї справедлим є включення . Очевидно, що для довільної множини множина буде замкненою; вона називається замиканням множини .

Границя[ред.ред. код]

Точка буде називатися граничною для множини , якщо для довільного околу перетин і будуть не порожніми. Множина всіх граничних точок називається граничною множиною або просто границею.

Всюди щільні множини[ред.ред. код]

Множина буде називатися всюди щільною в іншій множині , якщо для довільної точки і будь якого околу перетин не порожній.

Зв'язність[ред.ред. код]

Відстань між множинами[ред.ред. код]

Як відомо з елементарної математики, на комплексній площині відстань мід двома точками дорівнює модулю їх різинці. Тепер визначимо відстань між точкою і деякою множиною як величину .

На базі цього поняття вже можна визначити відстань між двома довільними множинами в : .

Зв'язність[ред.ред. код]

Множина називається Зв'язною, якщо для неї виконано співвідношення . Якщо дана величина не дорівнює нулю, то множина називається незв'язним. Можна показати, що незв'язна множину можна представити у вигляді об'єднання (скінченного або зліченного) , де  — зв'язні множини, що не перетинаються, називаються зв'зними компонентами множини . Потужність множини зв'язних компонент називається порядком зв'язності.

Випуклі, спряжені і лінійно зв'язані множини[ред.ред. код]

Множина називається спряженою відносно точки , якщо для довільної точки виконується включення .

Множина називається випуклою, якщо вона спряжена відносно будь якої своєї точки. Множина називається випуклою оболонкою множини , якщо вона випукла, і для будь якої випуклої множини , що містить множину виконується включення .

Ламаною' називається множина множина точок комплексної площини, що представляється у вигляді об'єднання відрізків. Множина називається лінійно зв'язною, якщо для двох довільних точок існує ламана така, что виконується .

Можно довести, що будь-яка лінійно связана множина буде зв'язною. Звідси наслідком є те, що зв'язні всі випуклі і спряжені множини.

Криві на [ред.ред. код]

Криві и шляхи[ред.ред. код]

Кривою або шляхом на комплексній площині називається відображення вигляду . Особливо слід зазначити, що при такому визначенні можна конкретизувати не тільки вигляд кривої, який буде залежати від аналітичних властивостей функції Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \varphi(t)} , але й її напрямок. Наприклад, функції і будуть визначати однакову за виглядом криву, але вона буде проходити в протилежних напрямках.

Гомотопія кривих[ред.ред. код]

Криві и називаються гомотопними, якщо існує крива , що залежить від параметру таким чином, що і .

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]