Вільна алгебра Лі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Версія від 20:26, 23 жовтня 2019, створена InternetArchiveBot (обговорення | внесок) (Bluelinking 1 books for verifiability.) #IABot (v2.1alpha3)
(різн.) ← Попередня версія | Поточна версія (різн.) | Новіша версія → (різн.)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У математичній теорії алгебр Лі вільна алгебра Лі є вільним об'єктом у категорії алгебр Лі із гомоморфізмами Лі. Виходячи з вільної алгебри, можна побудувати алгебри Лі з заданими генераторами і співвідношеннями подібно до задання групи.

Означення

[ред. | ред. код]

Універсальна властивість

[ред. | ред. код]

Вільною алгеброю Лі породженою множиною називається алгебра Лі, що задовольняє універсальну властивість:

Існує вкладення і якщо є вкладенням множини у довільну алгебру Лі то існує єдиний гомоморфізм алгебр Лі , для якого .[1]

Із універсальної властивості випливає ізоморфізм усіх вільних алгебр Лі породжених множиною Прямі побудови подані нижче показують існування вільних алгебр Лі.

Пряма побудова

[ред. | ред. код]

Нехай позначає довільне поле. Для множини позначимо вільну асоціативну K-алгебру породжену множиною і — відображення вкладення. На цій алгебрі можна ввести комутатор

і з цією операцією є алгеброю Лі. Визначимо

де перетин береться по всіх підалгебрах Лі у що містять .

є вільною алгеброю Лі породженою множиною .[2]

Згідно з побудовою і можна розглядати як вкладення

Альтернативна побудова Бурбакі

[ред. | ред. код]

Бурбакі подав альтернативну конструкцію вільної алгебри Лі. Для непорожньої множини і — то вільна магма на і асоціативна алгебра із базисом із продовженням множення по лінійності. В ньому розглядається ідеал , породжений усіма елементами виду

Тоді є вільною алгеброю породженою множиною .

Приклади і властивості

[ред. | ред. код]
  • Якщо є одноелементною множиною, то є алгебрі многочленів від однієї змінної . З введеним вище комутатором є комутативною алгеброю Лі. За означенням є найменшою підалгеброю Лі, що містить і такою очевидно є . Тому тривіальній одновимірній алгебрі Лі.

Породжуючі елементи і співвідношення

[ред. | ред. код]

Нехай непорожня множина. Мономом Лі називається скінченна послідовність дужок Лі з елементів . Прикладом моному Лі може бути

,

Словом Лі називається скінченна лінійна комбінація мономів Лі. Наприклад

.

Для множини слів Лі у множині позначимо найменший ідеал, що містить множину . Тоді факторалгебра Лі

є заданою породжуючою множиною і співвідношеннями .

Приклади

[ред. | ред. код]
  • , оскільки ідеалом у цьому випадку є .
  • Нехай елементами є всі вирази виду . Тоді є комутативною алгеброю для якої елементи утворюють базис векторного простору.
  • Нехай маємо множину і деякі цілі константи, менші або рівні 0 для різних індексів.
Нехай породжена елементами
  для  
  для і входжень елементів
  для і входжень елементів
Дані співвідношення називаються співвідношеннями Серра. Якщо є коефіцієнтами матриці Картана то є скінченновимірною напівпростою алгеброю Лі з даною матрицею Картана. Ці співвідношення таким чином використовуються для доведення існування напівпростих алгебр Лі для будь-якої системи коренів.[4]. Для більш загального типу матриць ці ж співвідношення використовуються для означення алгебр Каца — Муді.

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Теорема 9.9
  2. Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Розділ 9.3: Free Lie algebras
  3. Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Теорема 9.10
  4. Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Beispiel 9.12

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]
  • Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976.
  • Carter, R. (2005), Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge University Press, ISBN 0-521-85138-6
  • Lothaire, M. (1997), Combinatorics on words, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, т. 17 (вид. 2nd), Cambridge University Press, с. 76—91, 98, ISBN 0-521-59924-5, Zbl 0874.20040
  • Reutenauer, Christophe (1993), Free Lie algebras, London Mathematical Society Monographs. New Series, т. 7, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853679-6, MR 1231799